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Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Índice

DefiniçãoEditar

A função vetorial F é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar  , chamado de potencial, tal que  . Assim, dada uma função potencial  , o gradiente de  .

DemonstraçãoEditar

 
 
 
(Teorema Fundamental do Cálculo) Analogamente:
 
onde
 
e, usando que, para campos conservativos
 
temos que   Logo:
 
E
 
Agora, olhando para  
 
Analogamente a  
 
 
Então, se
 
 
e
 
 
[1]

Se   é uma função explícita de x,y,z então F(x,y,z) =  i+  j +  k. Se   é uma função implícita de x,y,z através de r =   , isto é,  (r) =  (r(x,y,z)) então é necessário usar a regra da cadeia para calcular o gradiente do potencial  . Potenciais desta forma são ditos potenciais centrais. [2]

Campos vetoriais irrotacionaisEditar

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

 

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior   nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

 .

No caso considerado aqui,   e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de   que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo  , isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac   que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminhoEditar

Seja   um campo vetorial conservativo, ou seja ,  , definido em uma região R do espaço e uma curva C, dada por  , contínua por partes em R, com início em  e extremidade em  , então:

 


DemonstraçãoEditar

Partindo-se da expressão:

 


Dada a curva C

 


Então

 


Aplicando a Regra da cadeia

 


Logo:

 


E,

 


Sempre que o campo for conservativo, o Trabalho será dado pela diferença de potencial, ou seja , o trabalho é independente do caminho realizado e dependerá apenas dos pontos inicial e final que unem a curva C.

Caso a curva C seja uma curva fechada, o ponto inicial coincide com o ponto final e o trabalho será nulo.


Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

 

ExemploEditar

Dado o campo

 

calcular o trabalho ( ) realizado para deslocar uma partícula de   até  :

Primeiro, verificamos se   é conservativo.

 

Como  , o campo é conservativo, logo, permite uma função potencial dada por  

 

 

 

 

 

 

Logo,  

Como o campo é conservativo, o   realizado para deslocar uma partícula independe do caminho C, e é calculado pela diferença de potencial entre   e  

 

 

Logo,  

Interpretação físicaEditar

MecânicaEditar

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

 

onde   é a energia cinética e   é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

 

Alguns exemplos de forças conservativas são:

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa   em   devido a um corpo pontual de massa   em   é:

 

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

  • Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

 

EletromagnetismoEditar

As equações de Maxwell, especificamente  , mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja,  . As curvas de nível do potencial elétrico   são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica   é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica quânticaEditar

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

 

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar


  • Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 85-244-0049-8 
  • Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0750306065 
  • Frankel, T.; (2003). The Geometry of Physics: An Introduction. segunda ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521539272 [3]
  • Parágrafo da apostila da Professora Irene Strautch -UFRGS
  • Parágrafo da apostila da Professora Irene Strautch - UFRGS
  • Strauch, Irene Strauch (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento De Matemática Pura e Aplicada - UFRGS