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Bola (matemática)

em matemática, o espaço delimitado por uma esfera
Uma esfera é uma bola em .

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta. (excluindo-os)

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricosEditar

Num espaço métrico  , a bola aberta de raio   centrada num ponto   é o conjunto de pontos cuja distância a   é inferior a  , isto é,  ;

A bola fechada de raio   centrada num ponto   é o conjunto de pontos à distância de   não superior a  , isto é,  .

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

ExemplosEditar

 
Exemplos de Bolas nas normas  ,   e   .
  • Em  , uma bola é um intervalo.
  • Em  , uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso[1].
  • Em  , uma bola é uma esfera.
  • Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
  • Em   com a métrica  , uma bola é um quadrado.
  • Em   com a métrica  , uma bola é um losango.
  • Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Esferas e Bolas Unitária no espaço EuclidianoEditar

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos   que satisfaz a equação

 

e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação

 

Fórmulas de área e volumeEditar

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos Vn, pode ser expressa em termos da função gama por

 

onde n!! é o duplo fatorial.

A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por An, pode ser expressa da forma

 

onde a última igualdade vale para n > 0.

As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:

    (área da superfície)   (volume)
0   0   1
1   2   2
2   6.283   3.141
3   12.57   4.189
4   19.74   4.935
5   26.32   5.264
6   31.01   5.168
7   33.07   4.725
8   32.47   4.059
9   29.69   3.299
10   25.50   2.550

onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

RecursãoEditar

Os valores de An satisfazem a recursão:

 
 
 
  para  .

Os valores de Vn satisfazem a recursão:

 
 
  para  .

Dimensão FracionalEditar

 Ver artigo principal: Medida de Hausdorff

As fórmulas para An e Vn podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

 
hipervolume da esféra (x–1)-dimensional (isto é, a "área" da superfície da bola unitária x-dimensional) como uma função contínua de x.
 
Volume da Bola em x- dimensional como uma função contínua de x.

Outros raiosEditar

 Ver artigo principal: Esféra

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é An rn−1 e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é Vn rn. Particularmente, a área é A = 4πr 2 para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4πr 3 / 3 para a bola tridimensional de raio r.

PropriedadesEditar

 Ver artigo principal: Espaço topológico

Em qualquer espaço métrico  :

Referências

  1. a b c SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 11
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