Teorema de Steinhaus

Em matemática, o teorema de Steinhaus é um importante resultada da teoria da medida.

Enunciado

Seja $S\,$ um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença $S-S:=\{x-y:x,y\in S\}\,$ contém uma vizinhança da origem.

Lema

Seja $S\,$ um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:

$\mu (S\cap [a,b])\leq \rho (b-a)$

onde $0\leq \rho <1\,$ Então $S\,$ tem conjunto de medida zero.

Suponha, por absurdo, que $S\,$ tem medida positiva. Fixe $1<k<{\frac {1}{\rho }}\,$

Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos $\{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{\infty }\,$ tais que:

$\bigcup _{n=1}^{\infty }(a_{n},b_{n})\supseteq S\Longrightarrow S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S\cap (a_{n},b_{n})\,$

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})\leq k\mu (S)\,$

Portanto: $\mu (S)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(S\cap (a_{n},b_{n})\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\rho (b_{n}-a_{n})\leq \rho k\mu (S)<\mu (S)\,$ , uma contradição.

Demonstração

Escolha $a\,$ e $b\,$ tal que $\mu \left([a,b]\cap S\right)>{\frac {3}{4}}(b-a)\,$, defina $E:=[a,b]\cap S\,$ e:

$F:=E-E\,$

Vamos mostrar que $F\,$ contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo $\delta >0\,$, existe $x\,$ tal que $|x|<\delta \,$ e $x\notin F\,$

Isso significa que $E\cap (E+x)=\emptyset \,$

Podemos estimar: $\mu (E)=\mu (E\cap (E+x))+\mu (E\cap (E+x)^{c})\leq \mu ([a,b]\backslash (E+x))\leq (b-a)-\mu (E)+\delta \,$

Equivalente a: $\mu (E)\leq {\frac {(b-a)+\delta }{2}}\,$, uma contradição se escolhermos $\delta \,$ suficientemente pequeno.