Fórmula de Leibniz para determinantes

Em álgebra, a fórmula de Leibniz, batizada em homenagem a Gottfried Leibniz, expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n×n, onde ai,j é a entrada na iésima ( a) linha e jésima coluna de A,[1] a fórmula é

onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação Sn, que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares, respectivamente.[2][3]

Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein,[4] onde se torna

o que pode ser mais familiar para os físicos.

Avaliando diretamente a fórmula de Leibniz a partir da definição requer operações em geral — isto é, várias operações assintoticamente proporcionais an fatorial - porque n! é o número de permutações de ordem n. Isso é impraticavelmente difícil para n grande. Em vez disso, o determinante pode ser avaliado em O(n3) operações formando a decomposição LU (normalmente por meio de eliminação de Gauss ou métodos semelhantes), caso em que e os determinantes das matrizes triangulares L e Usão simplesmente produtos de suas entradas diagonais. (Em aplicações práticas de álgebra linear numérica, no entanto, o cálculo explícito do determinante raramente é necessário.) Veja, por exemplo, Trefethen, Bau (1997).

Declaração formal e provaEditar

TeoremaEditar

Existe exatamente uma função

 

que é multilinear alternado em relação às colunas e de modo que  .

ProvaEditar

Singularidade: Deixe   ser essa função, e deixe   seja uma matriz  . Chame   a coluna  a de  , ou seja  , a fim de que  

Além disso, deixe   denotar o vetor coluna  a da matriz identidade.

Agora se escreve cada um dos  (s) em termos de  , ou seja

 .

Como   é multilinear, um tem

 

Da alternância, segue-se que qualquer termo com índices repetidos é zero. A soma pode, portanto, ser restrita a tuplas com índices não repetitivos, ou seja, permutações:

 

Como   está alternando, as colunas   pode ser trocado até se tornar a identidade. A função de signal   é definido para contar o número de trocas necessárias e levar em conta a mudança de sinal resultante. Finalmente consegue-se:

 

pois   deve ser igual a  .

Portanto, nenhuma função além da função definida pela Fórmula de Leibniz pode ser uma função alternada multilinear com  .

ExistênciaEditar

Mostramos agora que  , onde F é a função definida pela fórmula de Leibniz, possui essas três propriedades.

 
 

Para qualquer   deixe   seja a tupla igual a   com os índices   e   trocados.

 

Assim se   então  .

Finalmente,  :

 

Assim, as únicas funções multilineares alternadas com   estão restritas à função definida pela fórmula de Leibniz e, na verdade, também possuem essas três propriedades. Portanto, o determinante pode ser definido como a única função

 

com essas três propriedades.

Referências

  1. Burke, James V. (2019). «Determinants» (PDF) 
  2. Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele e Anne Schilling (2007). «Permutations and the Determinant» (PDF). University of California, Davis 
  3. «Permutations and the Determinant of a Square Matrix». WORLD SCIENTIFIC. Dezembro de 2015: 81–94. ISBN 978-981-4730-35-8. Consultado em 4 de setembro de 2020 
  4. «Leibniz formula for determinants explained». everything.explained.today. Consultado em 4 de setembro de 2020 
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