Em álgebra , a fórmula de Leibniz , batizada em homenagem a Gottfried Leibniz , expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n ×n , onde ai ,j é a entrada na i ésima (
j
{\displaystyle j}
a ) linha e j ésima coluna de A ,[ 1] a fórmula é
det
(
A
)
=
∑
τ
∈
S
n
sgn
(
τ
)
∏
i
=
1
n
a
i
,
τ
(
i
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
σ
(
i
)
,
i
,
{\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}
onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação Sn , que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares , respectivamente.[ 2] [ 3]
Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein ,[ 4] onde se torna
det
(
A
)
=
ϵ
i
1
⋯
i
n
a
1
i
1
⋯
a
n
i
n
,
{\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}
o que pode ser mais familiar para os físicos.
Avaliando diretamente a fórmula de Leibniz a partir da definição requer
Ω
(
n
!
⋅
n
)
{\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}
operações em geral — isto é, várias operações assintoticamente proporcionais an fatorial - porque n ! é o número de permutações de ordem n . Isso é impraticavelmente difícil para n grande. Em vez disso, o determinante pode ser avaliado em O(n 3 ) operações formando a decomposição LU
A
=
L
U
{\displaystyle A=LU}
(normalmente por meio de eliminação de Gauss ou métodos semelhantes), caso em que
det
A
=
(
det
L
)
(
det
U
)
{\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}
e os determinantes das matrizes triangulares L e U são simplesmente produtos de suas entradas diagonais. (Em aplicações práticas de álgebra linear numérica , no entanto, o cálculo explícito do determinante raramente é necessário.) Veja, por exemplo, Trefethen, Bau (1997) .
Existe exatamente uma função
F
:
M
n
(
K
)
→
K
{\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }
que é multilinear alternado em relação às colunas e de modo que
F
(
I
)
=
1
{\displaystyle F(I)=1}
.
Singularidade: Deixe
F
{\displaystyle F}
ser essa função, e deixe
A
=
(
a
i
j
)
i
=
1
,
…
,
n
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}
seja uma matriz
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
. Chame
A
j
{\displaystyle A^{j}}
a coluna
j
{\displaystyle j}
a de
A
{\displaystyle A}
, ou seja
A
j
=
(
a
i
j
)
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}
, a fim de que
A
=
(
A
1
,
…
,
A
n
)
.
{\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}
Além disso, deixe
E
k
{\displaystyle E^{k}}
denotar o vetor coluna
k
{\displaystyle k}
a da matriz identidade .
Agora se escreve cada um dos
A
j
{\displaystyle A^{j}}
(s) em termos de
E
k
{\displaystyle E^{k}}
, ou seja
A
j
=
∑
k
=
1
n
a
k
j
E
k
{\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}
.
Como
F
{\displaystyle F}
é multilinear, um tem
F
(
A
)
=
F
(
∑
k
1
=
1
n
a
k
1
1
E
k
1
,
…
,
∑
k
n
=
1
n
a
k
n
n
E
k
n
)
=
∑
k
1
,
…
,
k
n
=
1
n
(
∏
i
=
1
n
a
k
i
i
)
F
(
E
k
1
,
…
,
E
k
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}
Da alternância, segue-se que qualquer termo com índices repetidos é zero. A soma pode, portanto, ser restrita a tuplas com índices não repetitivos, ou seja, permutações:
F
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
(
∏
i
=
1
n
a
σ
(
i
)
i
)
F
(
E
σ
(
1
)
,
…
,
E
σ
(
n
)
)
.
{\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}
Como
F
{\displaystyle F}
está alternando, as colunas
E
{\displaystyle E}
pode ser trocado até se tornar a identidade. A função de signal
sgn
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}
é definido para contar o número de trocas necessárias e levar em conta a mudança de sinal resultante. Finalmente consegue-se:
F
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
n
a
σ
(
i
)
i
)
F
(
I
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
σ
(
i
)
i
{\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}
pois
F
(
I
)
{\displaystyle F(I)}
deve ser igual a
1
{\displaystyle 1}
.
Portanto, nenhuma função além da função definida pela Fórmula de Leibniz pode ser uma função alternada multilinear com
F
(
I
)
=
1
{\displaystyle F\left(I\right)=1}
.
Mostramos agora que
F
{\displaystyle F}
, onde F é a função definida pela fórmula de Leibniz, possui essas três propriedades.
F
(
A
1
,
…
,
c
A
j
,
…
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
c
a
σ
(
j
)
j
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
=
c
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
a
σ
(
j
)
j
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
=
c
F
(
A
1
,
…
,
A
j
,
…
)
F
(
A
1
,
…
,
b
+
A
j
,
…
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
(
b
σ
(
j
)
+
a
σ
(
j
)
j
)
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
(
(
b
σ
(
j
)
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
)
+
(
a
σ
(
j
)
j
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
)
)
=
(
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
b
σ
(
j
)
∏
i
=
1
,
i
≠
j
n
a
σ
(
i
)
i
)
+
(
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
σ
(
i
)
i
)
=
F
(
A
1
,
…
,
b
,
…
)
+
F
(
A
1
,
…
,
A
j
,
…
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}
F
(
…
,
A
j
1
,
…
,
A
j
2
,
…
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
(
i
)
i
)
a
σ
(
j
1
)
j
1
a
σ
(
j
2
)
j
2
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}
Para qualquer
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \in S_{n}}
deixe
σ
′
{\displaystyle \sigma '}
seja a tupla igual a
σ
{\displaystyle \sigma }
com os índices
j
1
{\displaystyle j_{1}}
e
j
2
{\displaystyle j_{2}}
trocados.
F
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
,
σ
(
j
1
)
<
σ
(
j
2
)
[
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
(
i
)
i
)
a
σ
(
j
1
)
j
1
a
σ
(
j
2
)
j
2
+
sgn
(
σ
′
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
′
(
i
)
i
)
a
σ
′
(
j
1
)
j
1
a
σ
′
(
j
2
)
j
2
]
=
∑
σ
∈
S
n
,
σ
(
j
1
)
<
σ
(
j
2
)
[
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
(
i
)
i
)
a
σ
(
j
1
)
j
1
a
σ
(
j
2
)
j
2
−
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
(
i
)
i
)
a
σ
(
j
2
)
j
1
a
σ
(
j
1
)
j
2
]
=
∑
σ
∈
S
n
,
σ
(
j
1
)
<
σ
(
j
2
)
sgn
(
σ
)
(
∏
i
=
1
,
i
≠
j
1
,
i
≠
j
2
n
a
σ
(
i
)
i
)
(
a
σ
(
j
1
)
j
1
a
σ
(
j
2
)
j
2
−
a
σ
(
j
1
)
j
2
a
σ
(
j
2
)
j
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}}
Assim se
A
j
1
=
A
j
2
{\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}
então
F
(
…
,
A
j
1
,
…
,
A
j
2
,
…
)
=
0
{\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}
.
Finalmente,
F
(
I
)
=
1
{\displaystyle F(I)=1}
:
F
(
I
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
I
σ
(
i
)
i
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
δ
i
,
σ
(
i
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
δ
σ
,
id
{
1
…
n
}
=
sgn
(
id
{
1
…
n
}
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}
Assim, as únicas funções multilineares alternadas com
F
(
I
)
=
1
{\displaystyle F(I)=1}
estão restritas à função definida pela fórmula de Leibniz e, na verdade, também possuem essas três propriedades. Portanto, o determinante pode ser definido como a única função
det
:
M
n
(
K
)
→
K
{\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }
com essas três propriedades.