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Matriz (matemática)

arranjo retangular de números, símbolos, ou expressões, organizados em linhas e colunas
(Redirecionado de Matriz quadrada)

Sejam dois números m e n, naturais e não nulos, chama-se de matriz , toda tabela A, formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.

Os termos individuais da Matriz geralmente denotados por onde e são as entradas da matriz. Quando as matrizes têm o mesmo tamanho, ou seja, têm o mesmo número de linhas e colunas que a outra, então essas duas matrizes podem ter seus elementos somados e subtraídos 1 a 1. Para multiplicar, no entanto, deve-se prestar atenção se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Dessa forma, percebe-se que as matrizes não comutam, logo (). Toda matriz pode ser multiplicada por um escalar, novamente elemento por elemento. A mais importante aplicação de matrizes é para representar transformações lineares.

Introdução HistóricaEditar

O primeiro nome dado às matrizes foi por Cauchy, tableau (em português, "tabela"), mas a denominação matriz veio com James Joseph Sylvester (1814-1897), em 1850. Seu significado coloquial: local onde algo se gera ou cria. Sylvester era um matemático respeitado na álgebra britânica, e foi na Universidade de Cambridge que ele conheceu o matemático inglês Arthur Cayley (1821 -1895). Sylvester via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes, mas com Cayley elas passam a gradativamente mostrar sua importância.

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu com Lagrange que reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função.Concluímos que a Teoria das Matrizes teve como base a Teoria das Formas Quadráticas, porque seus métodos e resultados básicos foram lá gerados, mas atualmente o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.

No estudo da álgebra linear é possível perceber que as matrizes são mais do que objetos estáticos, que gravam informações e dados, na realidade elas representam funções que agem em vetores transformando-os em outros vetores.

 
Cada elemento de uma matriz é muitas vezes representado por uma variável com dois subscritos. A variável a2,1, por exemplo, representa o elemento da segunda linha e primeira coluna de uma matriz A.

NotaçãoEditar

Matrizes são normalmente escritas em colchetes ou parênteses:

 

Matrizes normalmente são denotadas com letras maiúsculas enquanto seus elementos são denotados por letras minúsculas. Além disso, podemos simbolizar matrizes com um estilo tipográfico especial, comumente em negrito em posição vertical não itálico, para distinguir ainda mais matrizes de outros objetos matemáticos.

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com   linhas e   colunas é chamada de uma matriz   por   (escreve-se  ) e   e   são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem   com elementos naturais.

 

Um elemento de uma matriz   que está na  -ésima linha e na  -ésima coluna é chamado de elemento   ou  -ésimo elemento de   Ele é escrito como   ou  . Nesse exemplo, o elemento   é  , o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo,   para   de 1 a 3 e   de 1 a 2, define a matriz   de ordem  

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento   em Fortran corresponde ao elemento   em C.

ClassificaçãoEditar

Matriz quadradaEditar

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que   tem a mesma quantidade de elementos que   Numa matriz quadrada   de ordem   a diagonal principal é aquela formada pelos elementos   tais que  , para   de   a   No exemplo abaixo, a diagonal principal é formada pelos seguintes elementos: 1, 0 e 2. Há também a diagonal secundária, que é formada pelos elementos cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a n + 1. Na matriz abaixo, os elementos 1, 0 e 2 constituem a diagonal secundária.

 

Matriz DiagonalEditar

Uma matriz diagonal é definida como uma matriz onde todos os elementos cujo   são nulos, lembrando que os elementos   não são necessariamente não nulos.

 

Matriz escalarEditar

Um múltiplo escalar não nulo de uma matriz identidade é chamado de matriz escalar. Se as entradas da matriz vêm de um corpo, as matrizes escalares formam um grupo, sob a multiplicação matricial, que é isomorfo ao grupo multiplicativo dos elementos não nulos do corpo.  

VetorEditar

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz   (uma linha e   colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz   (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedadesEditar

Tipo de matriz é quadrada? Tem inversa? Qual é sua transposta? Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade   Sempre Sim, ela mesma:   Ela mesma,   (é uma matriz simétrica) Sempre é positiva definida
Matriz inversa   Sempre Sim, e é igual à matriz original,     Positiva definida se   for positiva definida
Matriz singular   Sempre Nunca  
Matriz simétrica   Sempre Não necessariamente   Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de   forem negativos [1]
Matriz transposta   Não necessariamente Não necessariamente  
Matriz positiva definida   Sempre Sim, e   também é positiva definida   Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida   Sempre Sim, e   também é negativa definida[1]   Sempre é negativa definida

Matriz identidadeEditar

 Ver artigo principal: Matriz identidade

A Matriz identidade   é a matriz quadrada   em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

 

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz:

 

para qualquer matriz   de ordem   por  .

Matriz inversaEditar

 Ver artigo principal: Matriz inversa

Uma matriz   é dita inversa de uma matriz   se obedece às equações matriciais   ou seja, se o produto entre as matrizes é a Matriz identidade.[2] A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto de duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz   a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação   pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transpostaEditar

 Ver artigo principal: matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz   é a matriz   em que   ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha   tornar-se-ão elementos da coluna   Exemplo:  

Matriz simétricaEditar

 Ver artigo principal: Matriz simétrica

Uma matriz   é simétrica se   Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definidaEditar

 Ver artigo principal: Matriz positiva definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja   uma matriz quadrada de dimensão   e   um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão   Note que se   temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matriz Semi-definida Definida
Positiva   positiva semidefinida se     é positiva definida se  
Negativa   é negativa semidefinida se   [1]   é negativa definida se  

Operações envolvendo matrizesEditar

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação de um número real por uma matrizEditar

A multiplicação de um número real por uma matriz é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número   real qualquer por uma matriz     basta multiplicar cada elemento   de   por   Assim, a matriz resultante   será também   e  [3] Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

 

Adição e subtração entre matrizesEditar

 Ver artigo principal: Adição de matrizes

Dado as matrizes   e   do tipo   por   sua soma   é a matriz   por   computada adicionando os elementos correspondentes:[4]

 

Por exemplo:

 

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer   você usará  

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em   o   que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizesEditar

 Ver artigo principal: Produto de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se   é uma matriz   por   e   é uma matriz   por   então seu produto   é a matriz   por   (  linhas e   colunas) dada por:[5]

 

para cada par   e  .

Por exemplo:

 

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes   e   tais que  


PropriedadesEditar

DeterminanteEditar

 Ver artigo principal: Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicaçãoEditar

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

 

No caso de várias matrizes:

 

CaracterísticaEditar

 Ver artigo principal: Posto matricial

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.[6]

AplicaçãoEditar

As aplicações das matrizes são encontradas em todos os campos científicos.

Em física, são usadas em ramos como mecânica clássica, ótica, eletromagnetismo, mecânica quântica e eletrodinâmica quântica, além de serem essenciais na descrição do movimento de corpos rígidos.

Na teoria da probabilidade e estatística, podem ser utilizadas matrizes estocásticas que são usadas para descrever os conjuntos de probabilidades.

Em computação, as matrizes são usadas em algoritmos de rankeamento de páginas e, por exemplo, no método dos elementos finitos, em que se define um elemento e, através de matrizes, os elementos são reescritos e associados.

Além disso, as matrizes podem ser usadas em Cadeias de Markov, crescimento populacional, grafos, códigos coletores de erros, modelo quântico entre outros.

ExemplosEditar

1) Calculando a matriz inversa:

 , pode ser feito a partir de um simples método algorítmico utilizando do conceito de Matriz Ampliada, podendo calcular qualquer Matriz inversa  .

O método algorítmico consiste primeiramente em expressar as matrizes A e I na forma de matriz ampliada.

 

 

Após construída a matriz ampliada   devemos transformar o lado correspondente a matriz  , na matriz Identidade( ) através de respectivas somas e subtrações entre linhas e múltiplos das linhas. Consideremos  

Dividindo a   por  

 

 

Agora somando  ,  e   na  .

 

 

Somando   em   e   em  .

 

Somando   em  .

 

Neste momento a matriz à direita é a matriz inversa de  .

 

2)Resolução do sistema linear pelo método de Cramer:

 

Sabendo  

 

Definimos quatro determinantes   (onde ocorre a substituição da coluna referente as variáveis   por  )

 

Resolvendo  :

 

E portanto:

 

 

 

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Livros e manuais no Wikilivros
  • O conjunto das matrizes   sobre um corpo   com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão   sobre  
  • O espaço vetorial das matrizes   sobre um corpo   com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo  
  • O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz   representa uma transformação linear de um espaço de dimensão   em um espaço de dimensão  , um tensor representa uma transformação n-linear que leva   vetores em  

Referências

  1. a b c MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 936.
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 27
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 19-20
  4. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 18
  5. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 20
  6. Condensação e característica de uma matriz, Universidade dos Açores
  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975