Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem editar

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

 

onde   é a incógnita e depende da variável  , e   e   são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por  , obtém-se:

 

Supomos que   possa ser escrita na seguinte forma:

 

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

 

onde   é constante. Resolvendo para  , temos:

 

Para encontrar a função  , basta observar que, pela regra do produto:

 

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

 

O que implica:

  que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Exemplo editar

Considere a seguinte equação diferencial:

 

Multiplicando a equação pelo fator integrante  , temos:

 

ou, reagrupando os termos:

 

o que é equivalente a:

 

ou, resolvendo para y:

 

 Transformação de uma EDO em Equação Exata editar

 Ver artigo principal: Equação diferencial exata

Considere uma equação diferencial da forma

 

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante   e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

 

Para que essa equação seja exata, precisamos que

 [1]

Ou seja, como   e   são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função   que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

 

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

 

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma   ou  , sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos   e  .

Assim, tomando   como uma função exclusivamente de  , teremos:

 

Ou seja, para obter uma a função   precisamos resolver a equação diferencial

 

Observe que dessa expressão obtemos que, para que   seja uma função de   é necessário que   seja também uma função de  .

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

 .

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de  .

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

Ver também editar

Referências

  1. Boyce, William (2013). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: LTC