Filtro (teoria dos conjuntos)

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro em um conjunto é uma coleção de subconjuntos de , ou seja, , satisfazendo as seguintes condições:

Por vezes, a definição não inclui a propriedade . Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.

ExemploEditar

Reticulados e álgebras de BooleEditar

Analogamente, em reticulados L um filtro   é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

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Numa álgebras de Boole com máximo   e mínimo  , às condições anteriores são acrescentadas:

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Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Filtros principaisEditar

Se um filtro   sobre   tem a forma:

 

com  , então   é o filtro principal gerado por  . Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

 

Um conjunto   é denominado cofinito se o seu complemento relativo a   é finito, ou seja   é finito. Por exemplo:

 

é cofinito, pois o seu complemento é:

 

e   é finito.

UltrafiltrosEditar

 Ver artigo principal: Ultrafiltro

Um ultrafiltro   é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro   tal que  . Por exemplo, seja   um conjunto não vazio com  :

 

é um ultrafiltro. Nesse caso,   é o ultrafiltro principal, gerado por  . Analogamente, se   é uma álgebra de Boole e   é um átomo em  , então   é o ultrafiltro principal gerado por  .

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.

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