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Em álgebra abstrata, álgebras boolianas[nota 1] (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações",[1] são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.[2]

Índice

HistóriaEditar

 Ver artigo principal: George Boole

O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.[3] A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.[4][5]

DefiniçãoEditar

Uma álgebra booliana é uma 6-upla   consistindo de um conjunto   munido de duas operações binárias   (também denotado por  , é geralmente chamado de "ou") e   (também denotado por   ou por  , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária   (também denotada por   ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes   (também denotada por   ou por  , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e   (também denotada por   ou por  , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer  :

Propriedades Associativas    
Propriedades Comutativas    
Propriedades Absortivas    
Propriedades Distributivas    
Elementos Neutros    
Elementos Complementares    

Alguns autores também incluem a propriedade  , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.

ExemplosEditar

  • O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto   munido das seguintes operações:
     
     
     
     
     
     
     
   
  • Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto   (o elemento   é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:
       
       
       
       
       
       
       
       
       
     
  • Dado um conjunto  , o conjunto   das partes de   munido das operações  ,  ,  , e onde   e  , é uma álgebra booliana.
  • O intervalo   munido das operações  ,  , e  , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.

TeoremasEditar

Dado uma álgebra booliana sobre  , são válidos para quaisquer  :

Propriedades Idempotentes

  •  
  •  

Dupla Negação

  •  

Leis de De Morgan

  •  
  •  

Leis de Absorção

  •  
  •  

Elementos Absorventes

  •  
  •  

Negações do Zero e do Um

  •  
  •  

Definições alternativas da operação binária   (também denotado por  , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")

  •  
  •  

OrdemEditar

Dado uma álgebra booliana sobre  , é válido para quaisquer  :

  •   se e somente se  

A relação   definida como   se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em  . O supremo e o ínfimo do conjunto   são   e  , respectivamente.

Homomorfismos e isomorfismosEditar

Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas   e   é uma função   que para quaisquer  :

  •  
  •  
  •  
  •  

Uma consequência é que  .

Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas   e   é um homomorfismo bijetor entre   e  . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre   e  , dizemos que   e   são isomorfos.

Anéis boolianosEditar

Dado uma álgebra booliana sobre  , é possível obter um anel com unidade   em que as operações são definidas como:

  •  
  •  

Neste anel, todo elemento é seu próprio oposto (isto é,   para todo  ). O anel assim obtido é chamado de anel booliano.

Ideais e FiltrosEditar

Num anel booliano  , um conjunto   é um ideal de   se e somente se satisfaz as seguintes condições:

  •   e  
  • Se   e   então  
  • Se   e   então  

Essa noção coincide com a de ideal próprio de teoria dos anéis.

A ideia dual à de ideal é a de filtro. Um conjunto   é um filtro de   se e somente se satisfaz as seguintes condições:

  •   e  
  • Se   e   então  
  • Se   e   então  

Ver tambémEditar

Referências

  1. Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27.
  2. Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.
  3. Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198.
  4. CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.
  5. Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.

Notas

  1. O Acordo Ortográfico de 1990 prescreve, na Base V, item 2c: Escrevem-se com i, e não com e, antes da sílaba tónica/tônica, os adjetivos e substantivos derivados em que entram os sufixos mistos de formação vernácula -iano e -iense, os quais são o resultado da combinação dos sufixos -ano e -ense com um i de origem analógica (baseado em palavras onde -ano e -ense estão precedidos de i pertencente ao tema: horaciano, italiano, duriense, flaviense, etc.): açoriano, acriano (de Acre), camoniano, goisiano (relativo a Damião de Góis), siniense (de Sines), sofocliano, torriano, torriense [de Torre(s)]. É precisamente o caso de booliano(a), que antes do Acordo se grafava com e
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