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Fração contínua

(Redirecionado de Frações continuadas)

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos.

Frações Continuadas SimplesEditar

Frações continuadas simples são expressões da forma  , em que todos os números   são iguais a 1. Uma expressão da forma   é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por   e  . Observe que o termo   é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos:  

 

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número   na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se  . Logo,  .

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma  . Com isso, obtém-se a expressão  .

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo,  .

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado:  .[1]

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma  , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número   na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número   é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples InfinitasEditar

É conveniente denotar repetições periódicas da forma   por  .

Exemplo. Vamos verificar que  . De fato, como  , podemos escrever,  

Também são verdadeiras as igualdades  . Pode-se concluir que  

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

 

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:  

Como   é um número positivo, concluímos que  .

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações ParciaisEditar

Se  , chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais   dados por:

 ,

ou seja,  

A existência do limite da sequência das frações parciais   deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

  • O número de ouro, dado por   pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica:  .

Os convergentes do número de ouro são   É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro   formam a sequência de Fibonacci  

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Contribuições ImportantesEditar

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

  • Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

 

 , que foi uma descoberta muito importante para a história do número  .

  • Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número  , definido por   cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como  

  • Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número   é irracional, usando frações continuadas para calcular   da forma

  Lambert usou essa expressão para concluir que se   é um número racional não nulo, então   não pode ser um número racional. Sendo assim, como  , então   não pode ser racional.

Exemplos de frações contínuasEditar

Alguns exemplos de frações contínuas:
 
 
 
 

 
 
 
 

Referências

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  • COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
  • DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
  • OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

Ligações externasEditar