Função constante

função matemática cujo valor (de saída) é o mesmo para todo valor de entrada

Em matemática, uma função constante é uma função cujo valor (saída da função) é o mesmo para todos os valores de entrada.[1][2][3] Por exemplo, a função é uma função constante porque o valor de é independentemente do valor de entrada (ver imagem).

Propriedades básicas editar

 
Exemplo do gráfico de uma função constante. Observe que a reta azul é paralela ao eixo horizontal

Como uma função com valor real de um argumento com valor real, uma função constante tem a forma geral   ou apenas  .[4] Por exemplo, a função   ou apenas   é a função constante específica onde o valor de saída (imagem) é   para qualquer que seja o valor do domínio. Ou seja,   e assim por diante. Não importa qual valor de   seja inserido, a saída será  . O domínio desta função é o conjunto de todos os números reais  . O conjunto imagem desta função é apenas  .

A função constante pode ser entendida como uma função polinomial de grau zero, sendo um caso particular da função de primeiro grau (função afim) ao assumir que o coeficiente angular   é nulo na equação reduzida  . Sua forma geral é  , onde   é uma constante real. Isso acontece porque apesar de   ter   como valor de entrada, a variável independente   é indiferente na definição da função. Admitindo  , podemos dizer, que "  não está em função de  ", explicitamente.[5]

Uma função constante   definida como  , sempre cruzará o eixo das ordenadas (eixo  ) num ponto  , entretanto, por ser paralela ao eixo horizontal, tal função não necessariamente intercepta o eixo das abscissas (eixo  ). A função   terá raízes reais (cruzará o eixo das abscissas) apenas se  , caso especial onde a reta   coincide com o eixo  , tendo assim, infinitas soluções (dado que o domínio é um conjunto infinito).

Sejam   e   funções reais e   uma função constante, o sistema formado pelas duas funções terá pelo menos uma solução somente se   não for uma função constante ou, caso seja, deverá ser definida como  .

Outras Propriedades editar

Para funções entre conjuntos pré-ordenados, as funções constantes preservam e invertem a ordem; inversamente, se f preserva e inverte a ordem, e se o domínio de f é um reticulado, então f deve ser constante.

  • Toda função f constante cujo domínio e contradomínio são o mesmo conjunto X é um zero à esquerda do monóide de transformação completo em X, o que implica que f também é idempotente.
  • Tem inclinação/gradiente zero .
  • Toda função constante entre espaços topológicos é contínua.
  • Uma função constante fatora o conjunto de um ponto, o objeto terminal na categoria de conjuntos. Esta observação é fundamental para a axiomatização da teoria dos conjuntos de F. William Lawvere, a Teoria Elementar da Categoria dos Conjuntos (ETCS).[6]
  • Para qualquer Y não vazio, todo conjunto X é isomórfico ao conjunto de funções constantes em   . Para qualquer Y e cada elemento x em X , existe uma função única  de tal modo que   para todos  . Por outro lado, se uma função  satisfaz  para todos  ,   é por definição uma função constante.
    • Como corolário, o conjunto de um ponto é um gerador na categoria de conjuntos.
    • Cada conjunto  é canonicamente isomórfico ao conjunto de funções   , ou conjunto hom   na categoria de conjuntos, onde 1 é o conjunto de um ponto. Por causa disso, e da adjunção entre produtos cartesianos e hom na categoria de conjuntos (portanto, há um isomorfismo canônico entre funções de duas variáveis ​​e funções de uma variável avaliada em funções de outra variável (única),   categoria de conjuntos é uma categoria monoidal fechada com o produto cartesiano de conjuntos como produto tensorial e o conjunto de um ponto como unidade tensorial. Nos isomorfismos   natural em X , os unitores esquerdo e direito são as projeções   os pares ordenados   e respectivamente ao elemento, onde   é o ponto único no conjunto de um ponto.

Uma função em um conjunto conectado é localmente constante se e somente se for constante.

Referências

  1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. [S.l.]: Facts on File, New York. p. 94. ISBN 0-8160-5124-0 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). «Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function» (PDF). Addison-Wesley. p. 175. Consultado em 12 de janeiro de 2014 
  3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. [S.l.]: CRC Press, London. p. 313. ISBN 0-8493-9640-9 
  4. Weisstein, Eric W. Função Constante. [S.l.: s.n.] 
  5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J; Holliday, Berchie; McClure, Melissa S; Marks, Daniel (2005). Conceitos Matemáticos Avançados - Pré-cálculo com Aplicações, Edição para Estudantes. [S.l.]: Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. ISBN 978-0078682278 
  6. Tom, Leinster. [1012.5647 «Uma introdução informal à teoria do topos»] Verifique valor |url= (ajuda) 
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