Um sistema hamiltoniano é localmente descrito por um aberto e uma função , onde é o número de graus de liberdade do sistema, o espaço de fase é localmente homeomorfo ao conjunto e a função é chamada de hamiltoniano do sistema. A evolução do sistema satisfaz às equações de Hamilton
Neste artigo a solução para essas equações será denotada por .
De acordo com o teorema de Liouville, dada uma região do espaço de fase, se cada ponto dessa região evolui de acordo com as equações de Hamilton então o volume dessa região é constante, essa é uma propriedade importante dos sistemas hamiltonianos e portanto temos interesse em encontrar métodos numéricos de integração que preservem essa propriedade, um integrador simplético respeita essa propriedade. Em outras palavras, a evolução do sistema é um simplectomorfismo e um integrador simplético é, por definição, um método cuja discretização é também um simplectomorfismo.[1]
Dado que o integrador simplético respeita as propriedades geométricas do espaço de fase e das equações de Hamilton ele é indicado para o problema de muitos corpos e para integração de tempo longo em sistemas hamiltonianos, obtendo resultados consideravelmente satisfatórios se comparado com outros métodos como RK4.[2]
Os integradores simpléticos de primeira ordem são , onde é o tamanho do passo para discretização do tempo. Os métodos de primeira ordem são variantes do método de Euler ajustados de acordo com a geometria simplética do espaço de fase.
Euler simplético I:
previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
(1)
Euler simplético II:
previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).
(2)
Esses métodos são, em geral, implícitos, entretanto em alguns casos particulares eles dão lugar a métodos explícitos, por exemplo:
Euler semi-implícito:
(3)
Teorema I: Os métodos (1), (2) e (3) são simpléticos de ordem 1.
Demonstração: Cf. referências [1] e [3]. Note que o método (3) é um caso particular do método (1).
Os integradores simpléticos de segunda ordem são . Em geral, métodos de segunda ordem são variantes do método de Verlet, bem como o próprio método de Verlet.[3]
Störmer-Verlet I:
e previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
(4)
Störmer-Verlet II:
e previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).
(5)
Como acontece para os métodos de Euler, o caso do hamiltoniano separável permite desenvolver métodos explícitos derivados desses, que são implícitos.
Verlet:
(6)
Teorema II: Os métodos (4), (5) e (6) são simpléticos de ordem 2.
Demonstração: Cf. referência [3] e [4]. Note que o método (6) é um caso particular do método (5).