Interceptação em y

Em geometria analítica, a interceptação em y ou interceptação vertical é a ordenada y em um ponto $(0,\ y)$ onde o gráfico de uma função ou qualquer outro tipo de relação intercepta o eixo-$y$ (eixo das ordenadas), assumindo por convenção que este seja o eixo vertical do sistema de coordenadas ortogonais considerado. Ao assumir que o eixo horizontal é o eixo-$x$, esse ponto satisfaz $x=0$.

Gráfico de y=f(x), em que o eixo horizontal é o eixo-x e o eixo vertical é o eixo-y. A interceptação em y da função f(x) está indicada pelo ponto vermelho em (x=0, y=1).

Equações

Se uma curva é dada por $y=f(x)$, a ordenada de sua interceptação em y pode ser encontrada ao calcular $f(0)$. Se a função for indefinida para $x=0$, ela não possui uma interceptação em y.

Em uma função afim na forma de equação reduzida $y=mx+b$, a interceptação em y é dada pelo termo independente $b$, chamado coeficiente linear. Isso porque $f(0)=m(0)+b=b$, logo, seu ponto de interceptação em y é $(0,\ b)$.

Gráfico de y = ax + b. A interceptação em y de uma função afim é no ponto (0, b).

Em uma função afim na forma de equação fundamental $y-y_{0}=m(x-x_{0})$, a interceptação em y é dada por $y_{0}-mx_{0}$, que coincide com o coeficiente linear $b$ da equação reduzida da função. Isso pode ser demonstrado manipulando a equação:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

$y-y_{0}=mx-mx_{0}$

$y=mx-mx_{0}+y_{0}$

Comparando ambas as equações:

$y=mx-mx_{0}+y_{0}$

$y=mx+b$

$mx+b=mx-mx_{0}+y_{0}$

$b=y_{0}-mx_{0}$

Múltiplas interceptações em y

Algumas relações bidimensionais, tais como círculos, elipses e hipérboles podem ter mais de uma interceptação em y. Isso não se aplica a funções pois essas associam $x$ a um único valor $y$ correspondente por sua definição, portanto, funções têm apenas uma interceptação em y.

Interceptações em x

Ver artigo principal: Raiz (matemática)

De forma análoga, uma interceptação em x, também chamada de raiz ou zero da função, é a abscissa x em um ponto $(x,\ 0)$ onde o gráfico de uma função ou qualquer outro tipo de relação intercepta o eixo-$x$ (eixo das abscissas), assumindo que este é o eixo horizontal do sistema de coordenadas ortogonais considerado. Esse ponto, caso exista, satisfaz $y=0$. Nesse caso, funções do tipo $y=f(x)$ podem possuir mais de uma interceptação em x, pois a definição de funções permite a existência múltiplas raízes.

Interceptações em x, caso existam, normalmente são mais complicadas para encontrar do que a interceptação em y, dado que a segunda pode ser encontrada simplesmente resolvendo para $x=0$, enquanto as raízes, dependendo da complexidade da função, necessitam de recursos algébricos para serem encontradas.

Interceptações de funções inversas com eixos coordenados

Ver artigo principal: Função inversa

Seja $f(x)$ uma função invertível, a interceptação em y de $f^{-1}(x)$ será igual à raiz de $f(x)$. Da mesma forma, a raiz de $f(x)$ será igual à interceptação em y de $f^{-1}(x)$.

Observe no gráfico de y = f(x) que sua raiz é igual à interceptação em y de sua inversa. O mesmo ocorre com sua inversa.

Em dimensões maiores

A noção de interceptação vertical pode ser estendida para espaços tridimensionais e dimensões maiores, bem como para outros eixos coordenados, possivelmente com outros nomes. Por exemplo, podemos dizer interceptação em $v$ para a velocidade escalar inicial de um automóvel (em cinemática, $v$ normalmente é a variável atribuída a velocidade escalar, enquanto ${\vec {v}}$ é atribuída a velocidade vetorial) ou interceptação em $I$ para característica corrente-tensão de um diodo semicondutor, por exemplo. (Em engenharia elétrica, $I$ é o símbolo usado para representar a corrente elétrica).