Abrir menu principal

Hipérbole

tipo de curva plana suave
Question book-4.svg
Esta página cita fontes confiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde Março de 2014). Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável poderá ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Disambig grey.svg Nota: Se procura a figura de linguagem, veja Hipérbole (figura de estilo).
Hipérbole como seção cônica.

Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.[1]

Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.[1]

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares[2] para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

tal que onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.

Índice

DefiniçõesEditar

Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices.[1]

A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.

Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.

Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo.[3]

 
Hipérboles retangulares de unidade conjugadas

Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.

Assim como as funções seno e co-seno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.

Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.

EquaçõesEditar

CartesianaEditar

Hipérbole de abertura leste-oeste:

 

Hipérbole de abertura norte-sul:

 

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo real (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo imaginário. Note que b pode ser maior que a.

A excentricidade é dada por

  ou  

Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:

 

PolarEditar

Hipérbole com abertura leste-oeste:

 

Hipérbole com abertura norte-sul:

 

Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:

 

Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.

ParamétricaEditar

Hipérbole com abertura leste-oeste:

 
 

Hipérbole com abertura norte-sul:

 
 

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.

Referências

  1. a b c Charles Hutton, A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors, Volume 1 (1815), Hyperbola, p.667 [google books]
  2. Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988.
  3. 1828 Webster's Dictionary, domínio público.

BibliografiaEditar

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar