Abrir menu principal
Question book.svg
Este artigo ou secção não cita fontes confiáveis e independentes (desde Janeiro de 2013). Ajude a inserir referências.
O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, uma relação é uma correspondência (ou associação) entre elementos de dois conjuntos não vazios. Mais especificamente, seja uma relação definida do conjunto com o . O conjunto é denominado conjunto de partida e o conjunto é denominado conjunto de chegada. A correspondência (ou relação) entre um dado elemento com um elemento , quando definida, é denotada pelo par ordenado , onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida e o segundo do conjunto de chegada .

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico.

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

FundamentosEditar

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação   como sendo um conjunto de pares ordenados   tais que   pertença ao conjunto   e que   pertença ao conjunto  , i.e.:

 

Note-se que o próprio conjunto cartesiano é uma relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjuntoEditar

Um tipo importante são as relações em que  , ou, em outras palavras, subconjuntos de  . Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

 
 
 
 

Relações de equivalênciaEditar

 Ver artigo principal: Relação de equivalência

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordemEditar

 Ver artigo principal: Relação de ordem

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação CompostaEditar

Seja   uma relação de   para   e   uma relação de   para  . Então podemos definir a relação composta de   com   dos conjuntos   com  , usualmente denotada por  . Ou seja, define-se:

 

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação InversaEditar

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação  :

 

Note-se que nem sempre:

 .

Ver tambémEditar

Referências

BibliografiaEditar

  • Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
  • Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
  • Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
  • Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
  • Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
  • Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.