Relação (matemática)

Em matemática, uma relação é uma correspondência (ou associação) entre elementos de dois conjuntos não vazios. Mais especificamente, seja ${\textstyle R}$ uma relação definida do conjunto ${\textstyle A}$ com o ${\textstyle B}$ . O conjunto ${\textstyle A}$ é denominado conjunto de partida e o conjunto ${\textstyle B}$ é denominado conjunto de chegada. A correspondência (ou relação) entre um dado elemento ${\textstyle a\in A}$ com um elemento ${\textstyle b\in B}$ , quando definida, é denotada pelo par ordenado ${\textstyle (a,b)}$ , onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida ${\textstyle A}$ e o segundo do conjunto de chegada ${\textstyle B}$ .

Os conjuntos de partida e de chegada não tem necessariamente que ter uma estrutura. Entretanto, segundo o tipo de estrutura que é sobreposta a esses conjuntos e o tipo de restrição que se impõe à própria relação, tem-se tipos especiais de relações, cada qual com um nome específico.

Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções.

Fundamentos

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação ${\textstyle R}$ como sendo um conjunto de pares ordenados ${\textstyle \left(a,b\right)}$ tais que ${\textstyle a}$ pertença ao conjunto ${\textstyle A}$ e que ${\textstyle b}$ pertença ao conjunto ${\textstyle B}$ , i.e.:

R\subseteq A\times B=\left\{\left(a,b\right)|a\in A\land b\in B\right\}

Note-se que o próprio conjunto cartesiano é uma relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um tipo importante são as relações em que ${\textstyle A=B}$ , ou, em outras palavras, subconjuntos de ${\textstyle A\times A}$ . Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

Reflexiva:

\left(a,a\right)\in R\quad \forall a\in A

Simétrica:

\left(a,b\right)\in R\to \left(b,a\right)\in R

Antissimétrica:

\left(a,b\right)\in R\land \left(b,a\right)\in R\to \left(a,b\right)=\left(b,a\right)

Transitiva:

\left(a,b\right)\in R\land \left(b,c\right)\in R\to \left(a,c\right)\in R

Relações de equivalência

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordem

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relação Composta

Seja ${\textstyle R}$ uma relação de ${\textstyle A}$ para ${\textstyle B}$ e ${\textstyle S}$ uma relação de ${\textstyle B}$ para ${\textstyle C}$ . Então podemos definir a relação composta de ${\textstyle S}$ com ${\textstyle R}$ dos conjuntos ${\textstyle A}$ com ${\textstyle C}$ , usualmente denotada por ${\textstyle S\circ R}$ . Ou seja, define-se:

S\circ R:=\{(x,z)\in A\times C|\exists y\in B,(x,y)\in R\land (y,z)\in S\}\,

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação $R\subset A\times B\,$ :

R^{-1}=\{(y,x)\in B\times A|(x,y)\in R\}\,

Note-se que nem sempre:

RoR^{-1}=Id_{B}\,

.

Ver também

Álgebra relacional

Referências

Bibliografia

Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of California Press.