Os invariantes de Riemann são transformações matemáticas feitas em um sistema de equações conservativas para as tornarem mais fáceis de serem resolvidas. As invariantes de Riemann são constantes ao longo de curvas características de equações diferenciais parciais onde obtêm o nome de invariantes. Elas foram obtidas pela primeira vez por Bernhard Riemann em seu trabalho com ondas planas nas dinâmicas dos gases.
Onde e são os elementos das matrizes e e e são elementos de vetores. Será perguntando se é possível reescrever essa equação para
Para fazer isso essas curvas serão introduzidas no plano (x,t) definido pelo campo vectorial . O termo em parênteses será reescrito em termos da derivada total x,t são parametrizados como
comparando as duas últimas equações, encontramos
que agora pode ser escrito em forma característica
onde devemos ter as condições
onde pode ser eliminado para dar a condição necessária
Considere que a equação de Euler unidimensional escrita em termos de densidade e velocidade é
, sendo a velocidade do som, é introduzido devido à suposição isentrópica. Escreva este sistema em forma de matriz
a partir da análise acima, os valores próprios e os vetores próprios precisam ser encontrados. Os valores próprios são encontrados para satisfazer
para obtermos
e os autovetores são encontrados como
onde os invariantes de Riemman são
( e são as notações amplamente usadas na dinâmica dos gases ). Para o caso de um gás perfeito com aquecimentos específicos constantes, existe a relação , Onde é a razão de calor específica, para dar aos invariantes de Riemann [1][1]
para dar as equações
Em outras palavras,
Onde e são curvas características. Isso pode ser resolvido pela transformação holográfica. No plano holográfico, se todas as características colapsam em uma única curva, então nós obtemos uma única onda. Se a forma da matriz do sistema de pde´s está na forma
Então, pode ser possível multiplicar através pela matriz inversa desde que a matriz determinante de não seja zero.