Inversa de Moore-Penrose

Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose $A^{+}$ de uma matriz $A$ é a generalização mais conhecida da matriz inversa. Ela foi descrita independentemente por EH Moore em 1920, Arne Bjerhammar em 1951 e Roger Penrose em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.

Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um sistema de equações lineares que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma (euclidiana) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.

A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. Pode ser determinada usando-se a decomposição de valores singulares. No caso especial em que $A$ é uma matriz normal (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa $A^{+}$anula o núcleo de $A$ e atua como uma inversa tradicional de $A$ no subespaço ortogonal ao núcleo.

Notação

Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:

• $\mathbb {K}$ denota o corpo dos números reais ($\mathbb {R}$) ou o cordos dos números complexos ($\mathbb {C}$). O espaço vetorial de matrizes $m\times n$ sobre $\mathbb {K}$ é denotado por $\mathbb {K} ^{m\times n}$.
• Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, sua transposta é denotada por $A^{\operatorname {T} }$ e a transposta conjugada (também chamada de adjunta) é denotada por $A^{*}$. Se $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, entãoo $A^{*}=A^{\operatorname {T} }$.
• Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, $\operatorname {Col} (A)$ denota o espaço coluna (imagem) de $A$ (o espaço gerado pelos vetores colunas de $A$) e $\operatorname {Nul} (A)$ (ou $\ker(A)$) denota o núcleo (espaço nulo) de $A$.
• Para qualquer inteiro positivo $n$, a matriz identidade de ordem $n\times n$ é denotada por $I_{n}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$.

Definição

Para $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$, uma pseudoinversa de A é definida como uma matriz $A^{+}\in \mathbb {K} ^{n\times m}$ satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:

1. $AA^{+}$ não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de A em si mesmos:
   $$AA^{+}A=\;A.$$
2. $A^{+}$ atua como uma inversa graca:
   $$A^{+}AA^{+}=\;A^{+}.$$
3. $AA^{+}$ é Hermitiana:
   $$\left(AA^{+}\right)^{*}=\;AA^{+}.$$
4. $A^{+}A$ também é Hermitiana:
   $$\left(A^{+}A\right)^{*}=\;A^{+}A.$$

A pseudoinversa $A^{+}$ existe para qualquer matriz $A\in \mathbb {K} ^{m\times n}$. Se, além disso, $A$ tem posto completo, ou seja, seu posto é $\min\{m,n\}$, então $A^{+}$ tem uma expressão algébrica particularmente simples.

Em particular, quando $A$ tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, $A$ é injetiva e, portanto $A^{*}A$ é invertível), $A^{+}$ pode ser calculado como

$$A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}.$$

Esta pseudoinversa específica é uma inversa à esquerda, ou seja, $A^{+}A=I$ . Se, por outro lado, $A$ tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, $A$ é sobrejetiva e, portanto, $AA^{*}$ é invertível), $A^{+}$ pode ser calculado como

$$A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}.$$

Esta é uma inversa à direita, uma vez que $AA^{+}=I$.

No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a decomposição de valores singulares. Qualquer matriz pode ser decomposta como $A=UDV^{*}$ para algumas matrizes $U,V$ e matriz real positiva diagonal $D$ . A pseudoinversa pode então ser escrita como $A^{+}=VD^{-1}U^{*}$ . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que $AA^{+}=UU^{*}$ e $A^{+}A=VV^{*}$, que são as projeções na imagem e suporte de $A$

$A$, respectivamente.

Propriedades

Existência e unicidade

Para qualquer matriz $A$, existe uma, e somente uma pseudoinversa $A^{+}$.

Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.

Propriedades básicas

• Se $A$ tem entradas reais, então $A^{+}$ também tem.
• Se $A$ é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, $A^{+}=A^{-1}$.
• A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, $A^{+}=A^{\operatorname {T} }$.
• A pseudoinversa da pseudoinversa de $A$ é a própria matriz $A$, ou seja, $\left(A^{+}\right)^{+}=A$.
• Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose:

  $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\mathrm {T} }$, $\left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {A^{+}}}$, $\left(A^{*}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{*}$.

• A pseudoinversa de um múltiplo escalar de $A$ é o múltiplo inverso de $A^{+}$, ou seja, $\left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}$ for $\alpha \neq 0$.

Identidades

As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:

${\begin{alignedat}{3}A^{+}={}&A^{+}&&A^{+*}&&A^{*}\\={}&A^{*}&&A^{+*}&&A^{+},\\A={}&A^{+*}&&A^{*}&&A\\={}&A&&A^{*}&&A^{+*},\\A^{*}={}&A^{*}&&A&&A^{+}\\={}&A^{+}&&A&&A^{*}.\end{alignedat}}$

Exemplos

Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$ (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição $A^{+}=A^{+}AA^{+}$, já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.$
  De fato, $\mathbf {A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,$ e portanto $\mathbf {A\,A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A.$
  Similarmente, $\mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,$ e portanto $\mathbf {A^{+}A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+}.$

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.$

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}.$ (Os denominadores são $5=1^{2}+2^{2}$.)

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},\$ $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.$

• Para $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}},\,$ a pseudoinversa é $\mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$
  Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual $\mathbf {A^{+}}$. De fato, $\mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Ver também

• Inversa de Drazin
• Método dos mínimos quadrados
• Elemento inverso

Bibliografia

• Ben-Israel, Adi; Greville, Thomas N.E. (2003). Generalized inverses: Theory and applications 2nd ed. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-00293-4. doi:10.1007/b97366 
• Campbell, S. L.; Meyer, Jr., C. D. (1991). Generalized Inverses of Linear Transformations. [S.l.]: Dover. ISBN 978-0-486-66693-8 
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985 
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. p. 240. ISBN 978-0-471-70821-6