Núcleo de Dirichlet

Em análise matemática, o núcleo de Dirichlet, nomeado em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é o polinômio trigonométrico da forma

Gráfico do núcleo de Dirichlet para pequenos valores de n.

$$D_{n}(x)={\frac {1}{L}}\left({\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {k\pi x}{L}}\right).$$

Este polinômio trigonométrico está definido para todo n inteiro positivo e é encontrado no estudo das séries de Fourier.

Forma complexa

Usando-se as expressões $\operatorname {sen} z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ e $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$, o núcleo de Dirichlet pode ser escrito na forma complexa como

$$D_{n}(x)={\frac {1}{2L}}\left(\sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {k\pi ix}{L}}\right)$$

Propriedades

Esboço de $D_{n}(x)$ para $x\in [-L,L]$, mostrando a convergência para a distribuição delta de Dirac.

• $D_{n}(x)$ é uma função periódica e de período 2L;
• $D_{n}(x)$ é uma função contínua;
• $D_{n}(x)$ é uma função par;
• $\int _{-L}^{L}D_{n}(x)\ dx=1$
• $D_{n}(0)={\frac {2n+1}{2L}}$
• $D_{n}(x)={\frac {1}{2L}}{\frac {\operatorname {sen} \left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi x}{L}}}{\operatorname {sen} {\frac {\pi x}{2L}}}}$, para $x\neq 0,\pm 2L,\pm 4L,...$

Demonstração da identidade trigonométrica

A identidade trigonométrica

$$\sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {ik\pi x}{L}}={\frac {\operatorname {sen}((n+1/2){\frac {\pi x}{L}})}{\operatorname {sen}({\frac {\pi x}{2L}})}}$$

enunciada acima pode ser demonstrada conforme a seguir.

A fórmula para a soma de termos em progressão geométrica é dada por:

$$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$$

Em particular, tem-se:

$$\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$$

Multiplicando tanto o numerador como o denominador por $r^{-{\frac {1}{2}}}$, obtemos:

$${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$$

No caso ${\textstyle r=e^{\frac {i\pi x}{L}}}$ esse expressão se torna:

$$\sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {ik\pi x}{L}}={\frac {e^{-(n+1/2){\frac {i\pi x}{L}}}-e^{(n+1/2){\frac {i\pi x}{L}}}}{e^{-{\frac {i\pi x}{2L}}}-e^{\frac {i\pi x}{2L}}}}={\frac {-2i\operatorname {sen}((n+1/2)x)}{-2i\operatorname {sen}(x/2)}}={\frac {\operatorname {sen}((n+1/2){\frac {\pi x}{L}})}{\operatorname {sen}({\frac {\pi x}{2L}})}}$$

como desejado.