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Notação de seta encadeada de Conway

A Notação de seta encadeada de Conway, criada pelo matemático John Horton Conway, é um meio de expressar certos números extremamente grandes. É simplesmente uma seqüência finita de inteiros positivos separados por setas para a direita, por exemplo, 2→3→4→5→6..

Como a maioria das simbologias combinatórias , a definição é recursiva. Neste caso, a notação eventualmente se resolve a ser o número mais à esquerda elevado a alguma potência inteira (geralmente enorme).

Definição e visão globalEditar

Uma Cadeia de Conway (ou simplesmente cadeia) é definida como segue:

  • Qualquer número inteiro positivo é uma cadeia de comprimento 1.
  • Uma cadeia de comprimento n, seguida por uma seta para a direita → e um inteiro positivo, juntos, formam uma cadeia de comprimento  .

Qualquer cadeia representa um número inteiro, de acordo com as quatro regras abaixo. Duas cadeias são ditas equivalentes se elas representam o mesma inteiro.

Se p e q são inteiros positivos, e X é uma subcadeia, então:

  1. A cadeia   representa o número p.
  2.   representa a expressão exponencial  .
  3.   é equivalente a  .
  4.   é equivalente a  
    (com p copias de X, p - 1 copias de q, e p - 1 pares de parêntesis; aplica-se para q > 0).

Note-se que a última regra pode ser atualizada de forma recursiva para evitar elipses:

4a.  
4b.  

PropriedadesEditar

  1. Uma cadeia de comprimento 3 corresponde à notação de seta para cima de Knuth e hiperoperadores:


 

  1. a cadeia X→Y é da forma X→p; conseqüentemente:
  2. a cadeia iniciando com a é uma potência de a
  3. a cadeia 1→Y é igual a 1
  4. a cadeia X→1→Y é igual a X
  5. a cadeia 2→2→Y é igual a 4
  6. a cadeia X→2→2 é igual a X→(X) (cadeia X com o seu valor concatenado a ela)

InterpretaçãoEditar

É preciso ter cuidado ao se tratar uma cadeia de setas como um todo. Cadeias de setas não descrevem a aplicação iterada de um operador binário. Considerando que as cadeias de outros símbolos infixados (por exemplo 3+4+5+6+7) podem muitas vezes ser considerados em fragmentos (por exemplo: (3+4)+5+(6+7)) sem uma mudança de significado (veja associatividade), ou pelo menos podem ser avaliadas, passo a passo em uma ordem prescrita, por exemplo,   da direita para a esquerda, que não é o caso com a seta de Conway.

Por exemplo:

  •  
  •  
  •  

A quarta regra é a essência: uma cadeia de 3 ou mais elementos que terminam com 2 ou mais torna-se uma cadeia de mesmo comprimento, com um (geralmente vasto) penúltimo elemento aumentado . Mas o seu último elemento é diminuído, permitindo, eventualmente, a terceira regra encurtar a cadeia. Depois, parafraseando Knuth, "detalhes demais", a cadeia é reduzida a dois elementos e a segunda regra termina a recursividade.

ExemplosEditar

Exemplos ficam bastante complicado rapidamente, aqui são pequenos exemplos:

n

= n (by rule 1)

p→q

= pq (by rule 2)
Thus 3→4 = 34 = 81

1→(qualquer expressão com setas)

= 1 uma vez que a expressão inteira, eventualmente, se reduz a 1number = 1. (Na verdade, qualquer cadeia que contenha um 1 pode ser truncada logo antes deste 1; e.g. X→1→Y=X para todas as cadeias (incorporadas) X,Y.)

4→3→2

= 4→(4→(4)→1)→1 (by 1) e, em seguida, trabalhando dos parênteses mais internos para os externos,
= 4→(4→4→1)→1 (remove parênteses redundantes [rrp])
= 4→(4→4)→1 (2)
= 4→(256)→1 (3)
= 4→256→1 (rrp)
= 4→256 (2)
= 4256 ≈ 1.34078079299 × 10154 aproximadamente (3)

Com setas de Knuth:  

2→2→4

= 2→(2)→3 (por 1)
= 2→2→3 (rrp)
= 2→2→2 (1, rrp)
= 2→2→1 (1, rrp)
= 2→2 (2)
= 4 (3) (Na verdade, qualquer cadeia começando com dois 2s representa 4.)

2→4→3

= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (by 1) As quatro cópias de X (que é 2 aqui) estão em negrito para distingui-las das três cópias de q (que é também 2)
= 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (rrp)
= 2→(2→(4)→2)→2 (exemplo prévio)
= 2→(2→4→2)→2 (rrp) (expressão expandida na equação seguinte mostra em negrito em ambas as linhas)
= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (1)
= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (rrp)
= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (2 repetidamente)
= 2→(2→(2→(4)))→2 (3)
= 2→(2→(16))→2 (3)
= 2→65536→2 (3,rrp)
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (1) com 65535 conjuntos de parêntesis
= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (2 repetidamente)
= 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (3)
= 2→(2→(2→(...16...)))) (3)
=   (uma torre com 216 = 65536 andares)

Com as setas de Knuth:  .

2→3→2→2

= 2→3→(2→3)→1 (by 1)
= 2→3→8 (2 e 3) Com as setas de Knuth: 2 ↑8 3 (prop1)
= 2→(2→2→7)→7 (1)
= 2→4→7 (dois 2 iniciais dão 4 [prop6]) Com as setas de Knuth: 2 ↑7 4 (prop1)
= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (1)
= 2→(2→4→6)→6 (prop6)
= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (1)
= 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (prop6)
= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (1)
= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (prop6)
= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (1)
= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (prop6)
= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (exemplo anterior)
= muito maior do que o número anterior

Com as setas de Knuth:  

3→2→2→2

= 3→2→(3→2)→1 (1)
= 3→2→9 (2 e 3)
= 3→3→8 (1)

Com as setas de Knuth:  .

Exemplos sistemáticosEditar

Os casos mais simples, com quatro termos (contendo pelo menos dois inteiros) são:

  •  
(também na sequência da última propriedade citada)
  •  
     
  •  

Podemos ver um padrão aqui. Se, para qualquer cadeia X, nós fazemos   então   (ver potências de funções).

Aplicando isto com  , então   e  

Assim, por exemplo,  .

Prosseguindo:

  •  

De novo podemos generalizar. Quendo escrevemos   nós temos  , isto é,  . No caso acima,   e  , assim  

Função de AckermannEditar

A Função de Ackermann pode ser expressada usando-se a Notação de seta encadeada de Conway:

A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3 for m>2

daqui

2 → nm = A(m+2,n-3) + 3 for n>2

(n=1 and n=2 corresponderia a A(m,-2)=-1 and A(m,-1)=1, que poderia logicamente ser adicionado).

Número de GrahamEditar

O Número de Graham   em si não pode ser expresso de forma sucinta na notação de seta encadeada de Conway, mas pela definição da função intermediária  , nós temos:  , e  

Prova: Aplicando para a definição, a regra 3, e a regra 4, temos:

 

  (com 64  's)
 
 

 

  (com 64  's)

 

  (com 64  's)
  (com 65  's)
  (computação como acima).

Desde que f é estritamente crescente,

 

que é a desigualdade dada.

Com as setas encadeadas é muito fácil se especificar um número muito maior. Por exemplo, note que

 

que é muito maior do que o número Graham

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar