Exponenciação
Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como an, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,[1] da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja, O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler an como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a2 costuma ser lido como a elevado ao quadrado , a3 como a elevado ao cubo e a4 como a elevado a quarta potência. Assim sucessivamente.
A potência an também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir an para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial ez. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.
Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.
A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.
História
editarAntiguidade
editarO Contador de Areia
editarEm The Sand Reckoner , Arquimedes provou a lei dos expoentes, 10 a · 10 b = 10 a + b , necessária para manipular potências de 10, e utilizou essa manipulação para estimar o número de grãos de areia que podem ser contidos no universo.[2]
Era de Ouro Islâmica
editarMāl e kaʿbah ("quadrado" e "cubo")
editarNo século IX, o matemático persa Al-Khwarizmi usou os termos مَال ("posses", "propriedade") para um quadrado — "os muçulmanos, como a maioria dos matemáticos daquela época e de épocas anteriores, pensavam em um número quadrado como uma representação de uma área, especialmente de terra, portanto propriedade" — e كَعْبَة ( Kaʿbah , "cubo") para um cubo , que os matemáticos islâmicos posteriores representaram em notação matemática como as letras mīm (m) e kāf (k), respectivamente, no século XV, como visto na obra de Abu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi .
Séculos XV–XVIII
editarApresentando expoentes
editarNicolas Chuquet usou uma forma de notação exponencial no século XV, por exemplo 12 2 para representar 12 x 2 . Isso foi usado mais tarde por Henricus Grammateus e Michael Stifel no século XVI. No final do século XVI, Jost Bürgi usaria algarismos romanos para expoentes de uma forma semelhante à de Chuquet, por exemplo para 4 x 3 .
"Expoente"; "quadrado" e "cubo"
editarA palavra expoente foi cunhada em 1544 por Michael Stifel. No século XVI, Robert Recorde usou os termos quadrado, cubo, zenzizenzic ( quarta potência ), sursolid (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursolid (sétimo) e zenzizenzizenzic (oitavo). Biquadrado também foi usado para se referir à quarta potência.
Notação exponencial moderna
editarEm 1636, James Hume usou essencialmente a notação moderna, quando em L'algèbre de Viète escreveu A iii para A 3 . No início do século XVII, a primeira forma de nossa notação exponencial moderna foi introduzida por René Descartes em seu texto intitulado La Géométrie ; lá, a notação é introduzida no Livro I.
Eu designo ... aa , ou a 2 ao multiplicar a por si mesmo; e a 3 ao multiplicá-lo mais uma vez por a , e assim até o infinito. - René Descartes, La Geométrie
Alguns matemáticos (como Descartes) usaram expoentes apenas para potências maiores que dois, preferindo representar quadrados como multiplicação repetida. Assim, eles escreveriam polinômios , por exemplo, como ax + bxx + cx 3 + d .
"Índices"
editarSamuel Jeake introduziu o termo índices em 1696. O termo involução era usado como sinônimo do termo índices , mas seu uso havia diminuído e não deve ser confundido com seu significado mais comum .
Expoentes variáveis, expoentes não inteiros
editarEm 1748, Leonhard Euler introduziu expoentes variáveis e, implicitamente, expoentes não inteiros, escrevendo:
Considere exponenciais ou potências em que o próprio expoente é uma variável. É claro que quantidades deste tipo não são funções algébricas , uma vez que nelas os expoentes devem ser constantes.
século XX
editarÀ medida que o cálculo foi mecanizado, a notação foi adaptada à capacidade numérica por convenções em notação exponencial. Por exemplo, Konrad Zuse introduziu a aritmética de ponto flutuante em seu computador Z1 de 1938. Um registro continha representação de dígitos iniciais e um segundo continha representação do expoente de 10. Anteriormente, Leonardo Torres Quevedo contribuiu com Essays on Automation (1914), que sugeriu a representação de números em ponto flutuante. A representação decimal de ponto flutuante mais flexível foi introduzida em 1946 com um computador dos Laboratórios Bell . Eventualmente, educadores e engenheiros adotaram a notação científica de números, consistente com a referência comum à ordem de magnitude em uma escala de razão .
Definição
editarAs potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.
Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:
Expoente zero
editarPara que
continue valendo para n = 0, devemos ter:
Expoentes inteiros negativos
editarPara que [4]
seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.
Então esse cálculo fica assim :
Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.
Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:
Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para
Expoentes um e zero
editar- qualquer número elevado a "um" é igual a ele mesmo.
- qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.
Indeterminações
editarNa exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:
Potências cujo expoente não altera o resultado
editarPotências de 0
editarAs potências de 0 são as potências de base 0, dados por n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: mas as potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. As outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é negativo, têm como resultado (infinito).
Potências de 1
editarAs potências de 1 são as potências de base 1, dados por sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.
Potências de 10
editarMultiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299 792 458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 × e então aproximada para 2,998 × Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa = 1 000, logo, um quilómetro é igual a 1 000 metros.
Potências de 2
editarPotências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = = 1 024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1 024 é kibi-, então 1 024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.
Expoentes fracionários
editarPara que a expressão
seja válida para números racionais, devemos ter:
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.
Observe que para que isso seja válido, independentemente da fração usada no expoente, deve-se impor que x seja um número positivo e b diferente de 0.
Expoentes decimais
editarNo caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.
Expoentes irracionais
editarComo a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:
Expoentes imaginários e complexos
editarEuler divulgou a fórmula que, sob a forma equivalente já era conhecida por Roger Cotes.
Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer real e complexo, :
Sintaxe em linguagens de programação e programas
editarA maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:
- x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
- x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
- pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
- Math.pow(x, y): Java, JavaScript, ActionScript 3
- $x^y$: LaTeX
- Em Pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.
- Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.
Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.
Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.
Referências
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]
- ↑ Archimedes; Heath, Thomas L., eds. (2009). «THE SAND-RECKONER». Cambridge: Cambridge University Press. Cambridge Library Collection - Mathematics: 221–232. ISBN 978-1-108-00615-6. Consultado em 14 de dezembro de 2024
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.56, [ver wikisource]
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.75, [ver wikisource]