Operador de Fredholm

operador matemático

Um operador de Fredholm é, por definição, um operador linear limitado entre espaços de Banach e tal que as dimensões de seu kernel e de seu cokernel são ambas finitas. Alguns autores incluem a hipótese de que sua imagem é fechada, porém, tal hipótese é redundante.[1]

O conjunto de todos os operadores de Fredholm é denotado por .

Cokernel

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O cokernel de uma transformação linear   entre espaços vetoriais   e   é o espaço quociente  .

Índice de um operador de Fredholm

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Dados dois espaços de Banach   e  , a função índice é definida como

 

Propriedades

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Os operadores de Fredholm são precisamente aqueles que são invertíveis módulo operadores compactos. Isso é conhecido como Teorema de Atkinson.[2]

Formalmente, dados   e   espaços de Hilbert. Um operador linear limitado   é um operador de Fredholm se, e somente se, existe um operador linear limitado   tal que

 

são operadores compactos em   e  , respectivamente.

Sobre a composição de operadores de Fredholm, temos que dados   e   operadores de Fredholm, a composta   também é um operador de Fredholm e vale que

 .[3]

Aplicações

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O Teorema de Atiyah-Jänich,[4] relacionado com a K-teoria.

Qualquer operador elíptico pode ser estendido para um operador de Fredholm.

Referências

  1. D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
  2. Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
  3. BLEECKER, D and BAVNBEK, B. Index Theory with Applications to Mathematics and Physics. International Press of Boston (2013)
  4. MUKHERJEE, Amiya. Atiyah-Singer Index Theorem: An Introduction. lndia: Hindustan Book Agency, 2013.