Postulado de Dedekind

O postulado de Dedekind é um axioma de continuidade formulado em termos de cortes de Dedekind. Este postulado é equivalente ao axioma do supremo na construção dos números reais.

Enunciado

Seja um partição $(A,B)\,$ um corte de Dedekind em um corpo ordenado $K\,$, ou seja:

• $a\in A,b\in B\Longrightarrow a<b\,$
• $A\bigcup B=K\,$

então $A\,$ possui um maior elemento ou $B\,$ possui um menor elemento.

Teorema

• Todo corpo ordenado que satisfaz o postulado de Dedekind é isomórfico ao corpo dos números reais.

Esboço da prova

Por ser um corpo ordenado, este corpo K possui um subcorpo isomórfico a $\mathbb {Q} \,$, então inicia-se com este isomorfismo $f:\mathbb {Q} \to Q_{K}\subseteq K\,$. Seja $x\in \mathbb {R} \,$, então definem-se:

$A_{x}=\{k\in K|\forall q\in \mathbb {Q} ,f(q)<k\}\,$

$B_{x}=K-A_{x}\,$

Deve-se agora provar que A_x e B_x satisfazem ao postulado, e definir g(x) como o (único) ponto que satisfaz ao corte. Em seguida, prova-se que g é um isomorfismo de $\mathbb {R} \,$ em sua imagem. Finalmente, prova-se que não pode haver mais nenhum elemento em K (visto que tal elemento teria um inverso infinitesimal, e não existem infinitésimos em $\mathbb {R} \,$).

Referências

• Considerações históricas sobre o postulado de Dedekind