Postulado de Dedekind

O postulado de Dedekind é um axioma de continuidade formulado em termos de cortes de Dedekind. Este postulado é equivalente ao axioma do supremo na construção dos números reais.

Enunciado

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Seja um partição   um corte de Dedekind em um corpo ordenado  , ou seja:

  •  
  •  

então   possui um maior elemento ou   possui um menor elemento.

Teorema

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  • Todo corpo ordenado que satisfaz o postulado de Dedekind é isomórfico ao corpo dos números reais.

Esboço da prova

Por ser um corpo ordenado, este corpo K possui um subcorpo isomórfico a  , então inicia-se com este isomorfismo  . Seja  , então definem-se:

 
 

Deve-se agora provar que Ax e Bx satisfazem ao postulado, e definir g(x) como o (único) ponto que satisfaz ao corte. Em seguida, prova-se que g é um isomorfismo de   em sua imagem. Finalmente, prova-se que não pode haver mais nenhum elemento em K (visto que tal elemento teria um inverso infinitesimal, e não existem infinitésimos em  ).

Referências

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