Quiver

Em matemática, um quiver (ou digrafo) é um grafo direcionado onde laços e múltiplas setas entre dois vértices são permitidos. Eles são comumente utilizados em teoria da representação: uma representação, V, de um quiver atribui um espaço vetorial V(x) para cada vértice x do quiver e um mapa linear V(a) para cada seta a.

Um digrafo.

$V_{1}{\overset {f}{\longrightarrow }}V_{2}$

Representação de um quiver, consistindo de dois espaços vetoriais (V1, V2) e um morfismo f

Se K é um corpo e Γ é um quiver, então o quiver algébrico ou trilha algébrica KΓ é definido como se segue. Uma trilha em Q é uma sequência de setas a_1 a_2 a_3 ... a_n tal que a cabeça de a_{i+1} = cauda de a_i, usando a convenção de concatenar trilhas da direita para esquerda. Então, a trilha algébrica é um espaço vetorial que tem todas as trilhas do quiver como base e a multiplicação dada pela concatenação de trilhas. Se duas trilhas não podem ser concatenadas porque o vértice final da primeira não é igual ao vértice inicial da segunda, seu produto é definido como zero. Isto define uma álgebra associativa sobre K. Essa álgebra é unitária se e somente se o quiver possui somente muitos vértices finitos. Neste caso, os módulos sobre KΓ são naturalmente identificados com as representações de Γ.

Se o quiver possui muitos vértices e setas finitos, e o vértice final e o inicial de qualquer trilha são sempre distintos (isto é, Q não tem ciclos orientados), então KΓ é um anel hereditário de dimensão finita sobre K.

Representações de quivers

Uma representação de um quiver, Q, é dita ser trivial se V(x)=0 para todos os vértices x em Q.

Um morfismo, f:V->V', entre representações do quiver Q, é uma coleção de mapas lineares $f(x):V(x)\rightarrow V'(x)$ tal que para cada seta em Q de x para y $V'(a)f(x)=f(y)V(a)$, isto é, todos os quadrados que f forma com as setas de V e V' se comutem. Um morfismo, f, é um isomorfismo, se f(x) é invertível para todos os vértices x no quiver. Com estas definições, as representações dum quiver formam uma categoria.

Se V e W são representações dum quiver Q, então a soma direta destas representações, $V\oplus W$, é definida por $(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)$ para todos os vértices x em Q e $(V\oplus W)(a)$ é a soma direta dos mapeamentos lineares V(a) e W(a).

Uma representação é dita ser decomponível se ela é isomórfica à soma direta das representações não-zero.

Uma definição categórica duma representação de quiver pode também ser dada. O quiver em si pode ser considerado uma categoria, onde os vértices são objetos e trilhas são morfismos. Então, uma representação de Q é apenas um funtor covariante desta categoria para a categoria de espaços vetoriais de dimensões finitas.

Teorema de Gabriel

Um quiver é dum tipo finito se possui muitas representações finitas não-isomórficas indecomponíveis. O teorema de Gabriel classifica todas as representações de quiver do tipo finito. Mais precisamente, declara que:

1. Um quiver (conectado) é de um tipo finito se e somente se o seu grafo subjacente (quando as direções das setas são ignoradas) é um dos seguintes diagramas de Dynkin: $A_{n}$, $D_{n}$, $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$.
2. As representações indecomponíveis estão numa correspondência um-para-um com as raízes positivas do sistema de raízes do diagrama de Dynkin.

Ver também

• Grafo
• Teoria dos grafos

Ligações externas

• Quiver Representations, Harm Derksen e Jerzy Weyman, AMS Notices
• Notas sobre representações de quivers
• Finite-dimensional algebras and quivers, Alistair Savage, "Encyclopedia of Mathematical Physics", eds. J.-P. Françoise, G.L. Naber e Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006, volume 2, pp. 313-320
• Digrafo em USP