Raiz da unidade

Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre[1], são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a n. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a teoria dos números, para a representação de caráter em teoria dos grupos, e para a transformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1.

Raízes cúbicas da unidade no plano complexo
Raízes quintas da unidade no plano complexo
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Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.

DefiniçãoEditar

Diz-se que uma raiz n-ésima da unidade, onde n é um inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), é um número complexo z que satisfaça a equação

 ,

que, pelo teorema fundamental da álgebra, possui   raízes no conjunto   dos números complexos.[2]

SoluçõesEditar

Uma das soluções sempre será o número  , já que   para qualquer   inteiro positivo. As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número   de forma conveniente através da fórmula de Euler:

 

Substituindo-se  , onde   obtém-se:

 

Implicando que o número   pode ser escrito da seguinte forma:

 

Resolve-se, então, a equação que define as raízes da unidade:

 

Então   pode ser escrito como:

 ,  

A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um   associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos   associados a um mesmo valor de   que seja dado por um valor principal  . A relação de congruência entre   e   é, por análise:

 

Desse modo, a solução resume-se a   raízes para  , dadas por:

 
 

Propriedades aritméticasEditar

Soma das raízesEditar

A soma das raízes da unidade é igual a  ,  . Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma progressão geométrica.

       

Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar as relações de Girard. Observando o polinômio   , é fácil notar que a soma das raízes é igual a  .

Produto das RaízesEditar

Através das relações de Girard, pode-se deduzir que o produto das raízes é   para   ímpar e   para   par.

Equação CiclotômicaEditar

 Ver artigos principais: Equação ciclotômica e Corpo ciclotômico

Teorema de Gauss-WantzelEditar

Carl Friedrich Gauss demonstrou que o problema de resolver a equação  , também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série de equações quadráticas, para quando   for um primo de Fermat, isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como  , onde  . Pierre Laurent Wantzel provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.[3]

O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entre análise complexa e geometria euclidiana, visto que implica na especificação de quais polígonos são construtíveis a partir de régua e compasso, problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde a Grécia antiga. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, o heptadecágono, é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como o heptágono e o eneágono, que não são construtíveis.

Referências

  1. Weisstein, Eric W. «de Moivre Number». MathWorld 
  2. de Araújo, Carlos César. «Raízes da Unidade». Matemática para Gregos & Troianos 
  3. Weisstein, Eric W. «Cyclotomic Equation». MathWorld 

BibliografiaEditar