Rearranjo simétrico decrescente

Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em $\mathbb {R} ^{n}$ é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos conjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos conjuntos de nível da função original.

Definições para conjuntos

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A^*, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A:

$A^{*}=\{x:|x|<r\},$

onde o r é dado por

$\omega _{n}r^{n}=\mu (A)$

aqui $\omega _{n}$ é a medida da bola unitária.

Definição para funções

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável $f$ é definido como

$f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)dt.$

Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}}(x)dt,$

vávlida para funções não-negativas.

Propriedades

A função $f^{*}$ é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f:

$|\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|.$

Se $f$ é uma função em $L^{p}$, então

$\|f\|_{L^{p}}=\|f^{*}\|_{L^{p}}.$

A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que

$\int fg\leq \int f^{*}g^{*}.$

A desigualdade de Szego estabelece que se $1\leq p<\infty$ e se $f\in W^{1,p}$, então

$\|\nabla f^{*}\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.$

O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem:

$f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}$

e reduz a distância em $L^{p}$:

$\|f-g\|_{L^{p}}\geq \|f^{*}-g^{*}\|_{L^{p}}.$