Regra de 72
Em finanças, a regra dos 72, a regra dos 70[1] e a regra dos 69,3 são métodos para estimar o tempo de duplicação de um investimento . O número da regra (por exemplo, 72) é dividido pela porcentagem de juros por período (geralmente anos) para obter o número aproximado de períodos necessários para duplicação. Embora calculadoras científicas e programas de planilha tenham funções para encontrar o tempo de duplicação preciso, as regras são úteis para cálculos mentais e quando apenas uma calculadora básica estiver disponível.[2]
Estas regras aplicam-se ao crescimento exponencial e, portanto, são utilizadas para juros compostos em oposição aos cálculos de juros simples . Eles também podem ser usados para decaimento para obter um tempo de redução pela metade. A escolha do número é principalmente uma questão de preferência: 69 é mais preciso para composição contínua, enquanto 72 funciona bem em situações de interesse comum e é mais facilmente divisível. Existem várias variações nas regras que melhoram a precisão. Para capitalização periódica, o tempo exato de duplicação para uma taxa de juros de r por cento por período é
- ,
onde t é o número de períodos necessários. A fórmula acima pode ser usada para mais do que calcular o tempo de duplicação. Se quisermos saber o tempo de triplicação, por exemplo, substitua a constante 2 no numerador por 3. Como outro exemplo, se quisermos saber quantos períodos são necessários para o valor inicial aumentar 50%, substitua a constante 2 por 1,5.
Usando a regra para estimar períodos compostos
editarPara estimar o número de períodos necessários para duplicar um investimento original, divida a “quantidade-regra” mais conveniente pela taxa de crescimento esperada, expressa em percentagem.
- Por exemplo, se você investisse $ 100 com juros compostos a uma taxa de 9% ao ano, a regra de 72 dá 72/9 = 8 anos necessários para que o investimento valha $ 200; um cálculo exato dá ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 anos.
Da mesma forma, para determinar o tempo que leva para o valor do dinheiro cair pela metade a uma determinada taxa, divida a quantidade regra por essa taxa.
- Para determinar o tempo necessário para que o poder de compra do dinheiro caia pela metade, os financiadores dividem a quantidade regra pela taxa de inflação . Assim, com uma inflação de 3,5%, usando a regra dos 70, deveria levar aproximadamente 70/3,5 = 20 anos para que o valor de uma unidade monetária caísse pela metade.[1]
- Para estimar o impacto das taxas adicionais nas políticas financeiras (por exemplo, taxas e despesas de fundos mútuos, encargos de carregamento e despesas em carteiras variáveis de investimento em seguro de vida universal ), divida 72 pela taxa. Por exemplo, se a apólice da Universal Life cobrar uma taxa anual de 3% acima do custo do fundo de investimento subjacente, então o valor total da conta será reduzido para 50% em 72/3 = 24 anos, e depois para 25% de o valor em 48 anos, em comparação com manter exatamente o mesmo investimento fora da apólice.
Escolha da regra
editarO valor 72 é uma escolha conveniente de numerador, pois possui muitos divisores pequenos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Fornece uma boa aproximação para capitalização anual e para capitalização a taxas típicas (de 6% a 10%); as aproximações são menos precisas a taxas de juro mais elevadas.
Para composição contínua, 69 fornece resultados precisos para qualquer taxa, uma vez que ln (2) é cerca de 69,3%; veja derivação abaixo. Como a composição diária é próxima o suficiente da composição contínua, para a maioria das finalidades 69, 69,3 ou 70 são melhores do que 72 para a composição diária. Para taxas anuais mais baixas do que as acima, 69,3 também seria mais preciso do que 72.[3] Para taxas anuais mais elevadas, 78 é mais preciso.
Rate | Actual Years | Rate × Actual Years | Rule of 72 | Rule of 70 | Rule of 69.3 | 72 adjusted | E-M rule |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.25% | 277.605 | 69.401 | 288.000 | 280.000 | 277.200 | 277.667 | 277.547 |
0.5% | 138.976 | 69.488 | 144.000 | 140.000 | 138.600 | 139.000 | 138.947 |
1% | 69.661 | 69.661 | 72.000 | 70.000 | 69.300 | 69.667 | 69.648 |
2% | 35.003 | 70.006 | 36.000 | 35.000 | 34.650 | 35.000 | 35.000 |
3% | 23.450 | 70.349 | 24.000 | 23.333 | 23.100 | 23.444 | 23.452 |
4% | 17.673 | 70.692 | 18.000 | 17.500 | 17.325 | 17.667 | 17.679 |
5% | 14.207 | 71.033 | 14.400 | 14.000 | 13.860 | 14.200 | 14.215 |
6% | 11.896 | 71.374 | 12.000 | 11.667 | 11.550 | 11.889 | 11.907 |
7% | 10.245 | 71.713 | 10.286 | 10.000 | 9.900 | 10.238 | 10.259 |
8% | 9.006 | 72.052 | 9.000 | 8.750 | 8.663 | 9.000 | 9.023 |
9% | 8.043 | 72.389 | 8.000 | 7.778 | 7.700 | 8.037 | 8.062 |
10% | 7.273 | 72.725 | 7.200 | 7.000 | 6.930 | 7.267 | 7.295 |
11% | 6.642 | 73.061 | 6.545 | 6.364 | 6.300 | 6.636 | 6.667 |
12% | 6.116 | 73.395 | 6.000 | 5.833 | 5.775 | 6.111 | 6.144 |
15% | 4.959 | 74.392 | 4.800 | 4.667 | 4.620 | 4.956 | 4.995 |
18% | 4.188 | 75.381 | 4.000 | 3.889 | 3.850 | 4.185 | 4.231 |
20% | 3.802 | 76.036 | 3.600 | 3.500 | 3.465 | 3.800 | 3.850 |
25% | 3.106 | 77.657 | 2.880 | 2.800 | 2.772 | 3.107 | 3.168 |
30% | 2.642 | 79.258 | 2.400 | 2.333 | 2.310 | 2.644 | 2.718 |
40% | 2.060 | 82.402 | 1.800 | 1.750 | 1.733 | 2.067 | 2.166 |
50% | 1.710 | 85.476 | 1.440 | 1.400 | 1.386 | 1.720 | 1.848 |
60% | 1.475 | 88.486 | 1.200 | 1.167 | 1.155 | 1.489 | 1.650 |
70% | 1.306 | 91.439 | 1.029 | 1.000 | 0.990 | 1.324 | 1.523 |
Nota: O valor mais preciso em cada linha está em itálico e o mais preciso das regras mais simples está em negrito.
Uma referência antiga à regra está na Summa de arithmetica (Veneza, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445–1514). Ele apresenta a regra em uma discussão sobre a estimativa do tempo de duplicação de um investimento, mas não deriva ou explica a regra, e portanto assume-se que a regra antecede Pacioli em algum tempo.
“ | A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (emphasis added). | ” |
Traduzido aproximadamente:
“ | Se você quiser saber cada quantidade de 100 por ano, em quantos anos terá duplicado o retorno entre lucro e capital, tenha 72 como regra, que você sempre deixará pelos juros, e o que vier disso será duplicado em muitos anos. Exemplo: Quando os juros são 6 por 100 vezes por ano, digo que começamos em 72 vezes 6; Virão 12 e em 12 anos o capital será duplicado. (grifo nosso). | ” |
Ajustes para maior precisão
editarPara taxas mais elevadas, um numerador maior seria melhor (por exemplo, para 20%, usar 76 para obter 3,8 anos seria apenas cerca de 0,002 de desconto, enquanto usar 72 para obter 3,6 seria cerca de 0,2 de desconto). Isto porque, como acima, a regra dos 72 é apenas uma aproximação precisa para taxas de juros de 6% a 10%.
Por cada três pontos percentuais acima dos 8%, o valor de 72 poderia ser ajustado em 1:
ou, para o mesmo resultado:
Ambas as equações simplificam para:
Observe que está bem próximo de 69,3.
Regra E-M
editarA regra de segunda ordem de Eckart-McHale (a regra E-M) fornece uma correção multiplicativa para a regra de 69,3 que é muito precisa para taxas de 0% a 20%, enquanto a regra normalmente só é precisa na extremidade mais baixa das taxas de juros, de 0% a cerca de 5%.
Para calcular a aproximação E-M, multiplique o resultado da regra de 69,3 por 200/(200− r ) da seguinte forma:
- .
Por exemplo, se a taxa de juro for de 18%, a regra de 69,3 dá t = 3,85 anos, que a regra E-M multiplica por (ou seja, 200/(200−18)) para dar um tempo de duplicação de 4,23 anos. Como o tempo real de duplicação a esta taxa é de 4,19 anos, a regra E-M dá assim uma aproximação mais próxima do que a regra dos 72.
Para obter uma correção semelhante para a regra de 70 ou 72, um dos numeradores pode ser definido e o outro ajustado para manter o produto aproximadamente o mesmo. A regra E-M poderia, portanto, ser escrita também como
- ou
Nestas variantes, a correção multiplicativa torna-se 1 respectivamente para r=2 e r=8, valores para os quais as regras de 70 e 72 são mais precisas.
Aproximante de Padé
editarO aproximante de Padé de terceira ordem fornece uma resposta mais precisa em um intervalo ainda maior de r, mas tem uma fórmula um pouco mais complicada:
o que simplifica para:
Derivação
editarCapitalização periódica
editarPara capitalização periódica, o valor futuro é dado por:
onde é o valor presente, é o número de períodos de tempo e representa a taxa de juros por período de tempo.
O valor futuro é o dobro do valor presente quando:
que é a seguinte condição:
Esta equação é facilmente resolvida para :
Um rearranjo simples mostra:
Se r for pequeno, então ln(1 + r ) é aproximadamente igual a r (este é o primeiro termo da série de Taylor ). Ou seja, este último fator cresce lentamente quando está próximo de zero.
Chame este último fator . A função mostra-se preciso na aproximação de para uma taxa de juros pequena e positiva quando (veja derivação abaixo). , e portanto aproximamos o tempo como:
Escrito como uma porcentagem:
Esta aproximação aumenta em precisão à medida que a composição dos juros se torna contínua (ver derivação abaixo). é escrito como uma porcentagem .
Para derivar os ajustes mais precisos apresentados acima, note-se que é mais aproximado por (usando o segundo termo da série de Taylor). pode então ser ainda mais simplificado por aproximações de Taylor:
Substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 7,79 dá 72 no numerador. Isto mostra que a regra dos 72 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 8%. Da mesma forma, substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 2,02 resulta em 70 no numerador, mostrando que a regra de 70 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 2%.
Alternativamente, a regra E-M é obtida se a aproximação de Taylor de segunda ordem for usada diretamente.
Capitalização contínua
editarPara capitalização contínua, a derivação é mais simples e produz uma regra mais precisa:
Ver também
editarReferências
- ↑ a b Donella Meadows, Thinking in Systems: A Primer, Chelsea Green Publishing, 2008, page 33 (box "Hint on reinforcing feedback loops and doubling time").
- ↑ Slavin, Steve (1989). All the Math You'll Ever Need . [S.l.]: John Wiley & Sons. pp. 153–154. ISBN 0-471-50636-2
- ↑ Kalid Azad Demystifying the Natural Logarithm (ln) from BetterExplained
Ligações externas
editar- The Scales Of 70– estende a regra dos 72 para além do crescimento de taxa fixa, para o crescimento composto de taxa variável, incluindo taxas positivas e negativas.