Tensor simétrico

Em matemática, um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob uma permutação de seus argumentos de vetor. Tensores simétricos de rank dois são apenas matrizes simétricas, e então são algumas vezes chamados formas quadráticas. Em termos mais abstratos, tensores simétricos de rank geral são isomórficos a formas algébricas; isto é, polinômios homogêneos e tensores simétricos são a mesma coisa. Um conceito relacionado é o tensor antisimétrico ou forma alternativa; entretanto, tensores anti-simétricos tem propriedades que são muito diferentes dos tensores simétricos, e dividem pouco em comum. Tensores simétricos ocorrem frequentemente em engenharia, física e matemática.

DefiniçãoEditar

Um tensor de segunda ordem é apenas uma matriz. Uma matrix A , com componentes Aij, é dito ser simétrico se

Aij = Aji

para todo i, j. Usando notação de vetores, uma matriz é simétrica se, para vetores v e w, uma tem

 

Usando notação de tensores, dados vetores base  , seus duais  , pode-se escrever uma matriz em termos do tensor produto da base dual como

 

e assim, para uma matriz simétrica, tem-se

 

Mais genericamente, os componente de um tensor simétrico de ordem m satisfazem

 

para qualquer permutação  . Equivalentemente, pode-se escrever

 

para vetores  .

Polinômios homogêneosEditar

O dual de   é isomórfico ao espaço de polinômios homogêneos de grau r sobre V.

Sendo  . Então   e seu dual é  . O mapa   é um isomorfismo de álgebras.

ExemplosEditar

Muitas propriedades dos materiais e campos usados em física e engenharia podem ser representados como campos de tensores simétricos; por exemplo , tensão mecânica, tensor tensão, e conductividade anisotrópica. Tensores de ordem 2 podem ser diagonalizados por escolhendo um quadro ortogonal de valores próprios. Estes valores próprios são os eixos principais do tensor, e geralmente têm um importante significado físico. Por exemplo, os eixos principais do momento de inércia definem o elipsoide que representa tal momento.

Elipsoides são exemplos de variedades algébricas; e então, para ordem geral, tensores simétricos, a pretexto de polinômios homogêneos, são usados para definir variedades projetivas, e são frequentemente estudados como tais.

PropriedadesEditar

Qualquer tensor de ordem dois   pode ser representado como a soma de um tensor simétrico e um tensor antisimétrico

 

É facilmente verificado que o primeiro termo, denominado   não sofre mudança quando índices são intercambiados

 

Quando o segundo termo,  , recebe um sinal menos.

 

Para um tensor de terceira ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são

 
 

Então para um tensor geral de n-ésima ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são dadas por [1]

  *
 
  • permuts significando permutações)

O espaço de tensores simétricos de ordem m definido sobre um espaço vetorial V é frequentemente denominado por   or  . Este espaço tem dimensão

 

onde n é a dimensão de V [2] and   is the binomial coefficient.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Sean M. Carroll, No-Nonsense Introduction to General Relativity (page 7)
  2. Cesar O. Aguilar, The Dimension of Symmetric k-tensors Arquivado em 18 de dezembro de 2006, no Wayback Machine.

Ligações externasEditar

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