Matriz transposta

Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz $M$ será representada por $M^{\mathrm {T} }$. Outras formas de representação encontradas na literatura são $M^{t}$ e $M'$.

Definição

A transposta da matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$ é a matriz $A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}$, i.e.:

$A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}\Leftrightarrow A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\ldots &a_{m,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}&\ldots &a_{m,2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&a_{2,n}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}$

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária ${}^{\mathrm {T} }:\mathbb {M} \to \mathbb {M}$ definida no conjunto das matrizes $\mathbb {M}$ que associa a cada matriz $A$ sua transposta $A^{\mathrm {T} }$.

Exemplos

Veja alguns exemplos:

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.$

• A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos $1$ e $4$) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$ é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna da matriz $A$ deve corresponder ao elemento da $j$-ésima linha e $i$-ésima coluna da matriz $A^{\mathrm {T} }$.

Uma das formas práticas de construir a matriz $A^{\mathrm {T} }$ é colocando em sua colunas as linhas da matriz $A$ na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz $A$ nas linhas da matriz $A^{\mathrm {T} }$ na mesma ordem.

Propriedades

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:

1. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A$
2. $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$
3. $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$
4. $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$
5. $(A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }$, se $A$ é uma matriz não singular.
6. $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$
7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:

$X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow XX^{T}={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=$${\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {OliveGreen}b}^{2}&{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}c}{\color {Red}a}+{\color {OliveGreen}d}{\color {OliveGreen}b}&{\color {Red}c}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}$

1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:

$X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow X^{T}X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=$${\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {Red}c}^{2}&{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}&{\color {OliveGreen}b}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}$

Demonstração.

1. $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,$

Seja $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$. Então, $A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}$ e, portanto, $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}=A$.

2. $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$

Sejam $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$ e $B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$. Então:

$\left(A+B\right)^{\mathrm {T} }=\left([a_{i,j}+b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}+b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$.

3. $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$

Seja $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$. Então:

$(cA)^{\mathrm {T} }=\left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=\left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=cA^{\mathrm {T} }$.

4. $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$

Sejam $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}$ e $B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}$. Então:

${\begin{aligned}\left(AB\right)^{\mathrm {T} }&=\left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left(\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k,j}a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=[b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\&=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\end{aligned}}$

5. $(A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }$, se $A$ é uma matriz não singular.

Se $A$ é uma matriz não singular, então $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Daí, segue que:

$I=I^{\mathrm {T} }=\left(AA^{-1}\right)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$

e

$I=I^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}A\right)^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$

ou seja, a inversa de $A^{\mathrm {T} }$ é a transposta de $A^{-1}$, como queríamos demonstrar.

6. $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$

Seja $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$. Por definição, o determinante de $A$ é dado por:

$\det(A):=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{1,s_{k,1}}a_{2,s_{k,2}}\cdots a_{n,s_{k,n}}$

onde, $s_{k,i}$ corresponde ao $i$-ésimo elemento da $k$-ésima permutação da sequência $(1,2,\ldots ,n)$. E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

$\det(A)=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{s_{k,1},1}a_{s_{k,2},2}\cdots a_{s_{k,n},n}:=\det(A^{T})$.

7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$. Então:

$AA^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}$

donde vemos que os termos da diagonal ($i=j$) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.

8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver também

• Matriz simétrica
• Matriz ortogonal
• Matriz congruente