Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz será representada por . Outras formas de representação encontradas na literatura são e .[1][2][3]

Definição

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A transposta da matriz   é a matriz  [1][2][3], i.e.:

 

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária   definida no conjunto das matrizes   que associa a cada matriz   sua transposta  .

Exemplos

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Veja alguns exemplos:

  •  
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Construção

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A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos   e  ) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz   é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha  -ésima linha e  -ésima coluna da matriz   deve corresponder ao elemento da  -ésima linha e  -ésima coluna da matriz  .[1]

Uma das formas práticas de construir a matriz   é colocando em sua colunas as linhas da matriz   na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz   nas linhas da matriz   na mesma ordem.

Propriedades

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Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[1]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  , se   é uma matriz não singular.
  6.  
  7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:
  
  1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:
  
Demonstração.
1.  

Seja  . Então,   e, portanto,  .


2.  

Sejam   e  . Então:

 .


3.  

Seja  . Então:

 .


4.  

Sejam   e  . Então:

 


5.  , se   é uma matriz não singular.

Se   é uma matriz não singular, então  . Daí, segue que:

 

e

 

ou seja, a inversa de   é a transposta de  , como queríamos demonstrar.


6.  

Seja  . Por definição, o determinante de   é dado por:

 

onde,   corresponde ao  -ésimo elemento da  -ésima permutação da sequência  . E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

 .


7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja  . Então:

 

donde vemos que os termos da diagonal ( ) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.


8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver também

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Referências

  1. a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  2. a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  3. a b Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 


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