Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em , foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

EnunciadoEditar

Seja   então a progressão aritmética   contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

DemonstraçãoEditar

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.[1]

Seja   um grupo comutativo finito de ordem   e elemento unitário  .

Um caráter sobre   é uma função   Um caráter sobre   tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

  1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre   como o produto dos caráteres sobre   é também um caráter sobre  , o conjunto de caráteres sobre   forma um grupo comutativo com a multiplicação.
    Isto permite definir o caráter principal do grupo   que se define como a função  . O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre  .
  2. Como   e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então  , o que implica que  .
    Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem   é como máximo  , o número de carateres   é finito, sendo o valor   uma cota superior de  .
    Por outra parte   existe um caráter   ([AD]). Por ele, e se representa mediante   a soma do valor   associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo  , se tem estas propriedades adicionais ([AD]):
  3.     
  4.     
  5.    
  6.    
    Dado um  , se definem os carateres   do grupo   definido como as classes de congruência módulo   de números coprimos com  .
    O grupo   tem   elementos, e o podemos representar por   onde os diferentes   são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição  , e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres   de   da seguinte maneira:
     
    Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem   funções deste tipo e uma delas:   se denomina caráter principal de Dirichlet.
    Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):
  7.  
  8.  
  9.    

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

  onde   e   é um caráter de Dirichlet.

Os valores de   são periódicos, o que implica que a série   converge absolutamente para   e uniformemente para   Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão:   Quando   A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Da igualdade   e as propriedades da função   se deduz que a função   é analítica no semiplano complexo   a exceção de um polo em  , cujo resíduo é  . Como consequência disto, podemos afirmar que  , onde   é analítica e não tem singularidades em  , de modo que a função expressa por   tem também um polo em   com resíduo  . Por outra parte, toda função-L de Dirichlet   com   é analítica e não apresenta singularidades na zona   ([AD]). E para   se tem ([AD]) que   o qual também se pode expressar como:

  

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que   quando   a seguinte expressão:

 

obtem um valor finito e, como vimos, dado que   tem um polo em   com resíduo   resulta que   o que implica que:

    

o que prova o teorema.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. Gonzalez de la Hoz, F.A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED. (em castelhano)