Teorema de Rouché-Capelli
O teorema de Rouché–Capelli é um teorema em álgebra linear que determina o número de soluções para um sistema de equações lineares, dada a classificação de sua matriz aumentada e matriz de coeficientes. O teorema também é conhecido como: Teorema de Kronecker–Capelli na Áustria, Polônia, Romênia e Rússia; Teorema de Rouché–Fontené na França; Teorema de Rouché–Frobenius na Espanha e em muitos países da América Latina; Teorema de Frobenius na Chéquia e na Eslováquia.
Definição formal
editarUm sistema de equações lineares com variáveis tem solução se e somente se o posto de sua matriz de coeficientes for igual ao posto de sua matriz aumentada .[1] Se houver soluções, elas formam um subespaço afim de de dimensão . Em particular:
![{\displaystyle [A|b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc5813fb4b87e6714c5233a736622a67957b89f)
- se , a solução é única,
- caso contrário, existem infinitas soluções.
Exemplo
editarConsidere o sistema de equações
A matriz de coeficientes é
e a matriz aumentada é
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719fe63e6ea283f189df8363c1d418f0a73a5ebb)
Visto que ambas têm o mesmo posto, a saber 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo o último 3, há infinitas soluções.
Em contraste, considere o sistema
A matriz de coeficientes é
e a matriz aumentada é
![{\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d486765032f65d6f336123d4e956685ad6257d)
Neste exemplo, a matriz de coeficientes tem posto 2, enquanto a matriz aumentada tem posto 3; portanto, este sistema de equações não tem solução. Na verdade, um aumento no número de colunas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.
Ver também
editarReferências
- ↑ Shafarevich, Igor R.; Remizov, Alexey (23 de agosto de 2012). Linear Algebra and Geometry (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 56. ISBN 9783642309946
- A. Carpinteri (1997). Structural mechanics. [S.l.]: Taylor and Francis. p. 74. ISBN 0-419-19160-7
Ligações externas
editar- Kronecker-Capelli Theorem no Wikibooks
- Kronecker-Capelli's Theorem - vídeo do youtube com uma prova
- Kronecker-Capelli theorem na Encyclopaedia of Mathematics
