Teorema de Steinhaus

Em matemática, o teorema de Steinhaus é um importante resultada da teoria da medida.

EnunciadoEditar

Seja   um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença   contém uma vizinhança da origem.

LemaEditar

Seja   um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:

 

onde   Então   tem conjunto de medida zero.

Suponha, por absurdo, que   tem medida positiva. Fixe  

Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos   tais que:

 
 

Portanto:   , uma contradição.

DemonstraçãoEditar

Escolha   e   tal que  , defina   e:

 

Vamos mostrar que   contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo  , existe   tal que   e  

Isso significa que  

Podemos estimar:  

Equivalente a:  , uma contradição se escolhermos   suficientemente pequeno.