Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

EnunciadoEditar

Seja   uma série numérica e a constante   definida pelo limite:

  •  

Então:

  • Se  , a série converge absolutamente
  • Se   ou  , a série não converge
  • Se  , nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de   por:

  •  

ExemploEditar

Considere a série dada por:

  •  
 

Portanto a série converge.

Exemplo 2Editar

Considere a série dada por:

  •  
 
 , em que:
 

Então   não tem limite, ou seja,   não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

 

Como   a série é divergente.

Demonstração para k<1Editar

Seja:

 

Escolha   Como  ,   e, portanto, existe um   tal que:

 

De forma que:

 

Assim,   e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão  

Demonstração para k>1Editar

Se  , então existe u > 1 e uma subseqüência   tal que:

 

E imediatamente:

 

E portanto,  

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

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