Tricotomia (matemática)

Em matemática, a lei da tricotomia afirma que todo número real é positivo, negativo ou zero. A tricotomia é a propriedade de uma relação de ordem que, para quaisquer $x$ e $y$, exatamente um dos seguintes ocorre: $x<y$, $x=y$, ou $x>y$. Este axioma da tricotomia é válido para comparações ordinárias de números reais e, por conseguinte, seus subconjuntos, tais como os inteiros e racionais.

Mais geralmente, uma relação binária $\mathrm {R}$ em um conjunto $X$ é tricotômica se para todos os $x$ e $y$ em $X$, exatamente um de $x\mathrm {R} y$, $y\mathrm {R} x$ e $x=y$ for válido. Escrevendo $\mathrm {R}$ como $<$, isso é declarado na lógica formal como:

$\forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.$

Propriedades

• Uma relação é tricotômica se, e somente se, for assimétrica e semiconexa.
• Se uma relação tricotômica também é transitiva, então é uma ordem total estrita; este é um caso especial de uma ordem estritamente fraca.

Exemplos

• No conjunto $X=\{a,b,c\}$, a relação $\mathrm {R} =\{(a,b),(a,c),(b,c)\}$ é transitiva e tricotômica e, portanto, uma ordem total estrita.
• No mesmo conjunto, a relação cíclica $\mathrm {R} =\{(a,b),(b,c),(c,a)\}$ é tricotômica, mas não transitiva; é até antitransitiva.

Tricotomia em números

Uma lei da tricotomia em algum conjunto $X$ de números geralmente expressa que alguma relação de ordenação dada tacitamente em $X$ é tricotômica. Um exemplo é a lei "Para números reais arbitrários $x$ e $y$, aplica-se exatamente um de $x<y$, $x>y$ ou $x=y$"; alguns autores até fixam $y$ como zero, baseando-se na estrutura de grupo linearmente ordenada aditiva do número real. Este último é um grupo equipado com uma ordem tricotômica.

Na lógica clássica, este axioma da tricotomia vale para comparação ordinária entre números reais e, portanto, também para comparações entre inteiros e entre números racionais. A lei não se aplica em geral na lógica intuicionista.

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e na teoria dos conjuntos de Bernays, a lei da tricotomia é válida entre os números cardinais de conjuntos bem ordenáveis, mesmo sem o axioma da escolha. Se o axioma da escolha for válido, então a tricotomia é válida entre os números cardinais arbitrários (porque eles são todos bem ordenados nesse caso).

Ver também

• Begriffsschrift contém uma formulação inicial da lei da tricotomia
• Dicotomia
• Princípio da não-contradição
• Lei do terceiro excluído