Usuário(a):WilsonNeuroMat/Testes81

Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.[1]

Afirmação do teorema

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Considere   um espaço métrico separável. Considere que   denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em   (com sua σ-álgebra de Borel).

O teorema de Prokhorov afirma que:

  1. Uma coleção   de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de   for sequencialmente compacto no espaço   equipado com a topologia de convergência fraca;
  2. O espaço   com a topologia de convergência fraca é metrizável;
  3. Suponha que, além disso,   é um espaço métrico completo (de modo que   é um espaço polonês). Há uma métrica completa   em   equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais,   é apertada se e apenas se o fecho de   em   for compacto.[2]

Corolários

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Para espaços euclidianos, temos que:

  • Se   for uma sequência apertada em   (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano  -dimensional), então, há uma subsequência   e uma medida de probabilidade  , tal que   converge fracamente a  .
  • Se   for uma sequência apertada em  , tal que toda subsequência fracamente convergente   tem o mesmo limite  , então, a sequência   converge fracamente a  .[3]

Extensão

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O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.

Suponha que   é um espaço métrico separável completo e   é uma família de medidas complexas de Borel em  . As seguintes afirmações são equivalentes:

  •   é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência   tem uma subsequência fracamente convergente.
  •   é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.[4]

Comentários

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Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.[3][4]

Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.

Ver também

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Referências

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  1. Prokhorov, Y. (1 de janeiro de 1956). «Convergence of Random Processes and Limit Theorems in Probability Theory». Theory of Probability & Its Applications. 1 (2): 157–214. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1101016 
  2. Bogachev, Vladimir I. (15 de janeiro de 2007). Measure Theory (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540345145 
  3. a b Dudley, R. M. (14 de outubro de 2002). Real Analysis and Probability (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521007542 
  4. a b Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965