Em problemas de engenharia muitas vezes dispomos de um conjunto de dados e desejamos estimar pontos entre os valores discretos conhecidos, sendo necessário para tal definir uma função que melhor os represente.

Quando esse conjunto é determinado a partir de medidas experimentais ou amostragem, geralmente existe uma incerteza associada e, neste caso, o ajuste deve ser feito levando em consideração a tendência geral dos pontos, um exemplo clássico é o método dos mínimos quadrados. Por outro lado, se possuímos um conjunto de valores numéricos precisos, podemos aproximá-los por uma função que passe obrigatoriamente por todos os pontos, processo conhecido como interpolação.

A interpolação também é bastante utilizada quando a função em estudo tem uma expressão complicada . Nestes casos, podemos aproximá-la por uma outra função de manipulação mais fácil desde que os ganhos em simplicidade compensem os erros decorrentes.

Várias classes de funções podem ser utilizadas para este fim: Polinomiais, exponenciais,logarítmicas, trigonométricas, entre outras. Aqui iremos abordar a interpolação polinomial, uma vez que os polinômios são funções bem comportadas de fácil diferenciação e integração, sendo a base de muitos métodos numéricos para cálculos de raízes de equações não lineares e para resolução de equações diferenciais.

A determinação do polinômio interpolador pode ser feita a partir de diversos métodos, como: diferenças divididas de Newton, fórmula de Taylor,e Polinômios de Lagrange. Iremos abordar a formulação dos polinômios de Lagrange amplamente utilizada em análise numérica e que visa tornar o sistema matricial melhor condicionado.

Interpolação polinomial

O problema de encontrar um polinômio interpolador pode ser enunciado da seguinte forma:

Dado um conjunto de n+1 pontos,(x0, y0), (x1, y1,) ..., (xn, yn), queremos aproximar uma função f(x) original por um polinômio Pn(x) de grau menor ou igual a n que passe pelos pontos nodais. = Sendo:

$P_{0}(x_{0})=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+...+a_{n}x_{0}^{n}=y_{0}$

$P_{1}(x_{1})=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{1}^{n}=y_{1}$

                    $\vdots$

$P_{n}(x_{n})=a_{0}+a_{1}x_{n}+a_{2}x_{n}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}$

Ou na forma matricial:

 ${\begin{bmatrix}1&x_{0}^{2}\cdots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}^{2}\cdots &x_{1}^{n}\\\vdots &\vdots \ddots &\vdots \\1&x_{n}^{2}\cdots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}$    ${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$  =  ${\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

Nota-se que o sistema recai sob a forma de uma matriz de Vandermonde que tende a ser mal condicionada (ter solução instável) quando as diferenças (xi-xj) são grandes. Cabe, portanto, desenvolver métodos que melhorem o condicionamento do sistema, dentre eles usa-se os polinômios de Lagrange.

Provas

Teorema de Weierstrass: Se f(x) é uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], então para cada ɛ> 0, existe um polinômio de grau n(ɛ) tal que: |f(x)-Pn(x)|<ɛ para todo x no intervalo.

O teorema de Weierstrass garante que toda a função contínua definida no intervalo fechado [a,b] pode ser aproximada por um polinômio.

Teorema da Existência e unicidade: Vimos que o sistema pode ser escrito sob a forma de uma matriz de Vandermonde, cujo determinante é dado pelo produtório das diferenças das abscissas.

                                                       $\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$

De acordo com a regra de Cramer se o determinante for não nulo o sistema é possível e determinado. Assim a solução é única se xj≠xi, uma vez que duas linha iguais anulam o determinante.

Polinômios de Lagrange

Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.

Afim de resolver este problema, o matemático Joseph-Louis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz. A ideia foi diagonalizá-la, obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta. Dados n pontos de abscissas $(x_{j})|_{1}^{n}$ , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:

                                                       $L_{k}(x_{j})={\begin{Bmatrix}1,k=j\\0,k\neq j\end{Bmatrix}}$ (1)

Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.

$L_{0}(x)={\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})^{*}...^{*}(x-x_{n})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})^{*}...^{*}(x_{0}-x_{n})}}$

$L_{1}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})^{*}...^{*}(x-x_{n})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})^{*}...^{*}(x_{1}-x_{n})}}$

$L_{2}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})^{*}...^{*}(x-x_{n})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{0}-x_{3})^{*}...^{*}(x_{2}-x_{n})}}$

                                  $\vdots$

$L_{n}(x)={\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})^{*}...^{*}(x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})(x_{n}-x_{3})^{*}...^{*}(x_{n}-x_{n-1})}}$

Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:

$L_{k}(x)=\prod _{1\leq j\neq k\leq n}{\frac {(x_{-}x_{j})}{(x_{k}-x_{j})}}$

O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:

$P_{0}(x_{0})=a_{0}L_{0}(x_{0})+a_{1}L_{1}(x_{0})+...+a_{n}L_{n}(x_{0})=y_{0}$

$P_{1}(x_{1})=a_{0}L_{0}(x_{1})+a_{1}L_{1}(x_{1})+...+a_{n}L_{n}(x_{1})=y_{1}$

                              $\vdots$

$P_{n}(x_{n})=a_{0}L_{0}(x_{n})+a_{1}L_{1}(x_{n})+...+a_{n}L_{n}(x_{n})=y_{n}$

Aplicando a condição (1) temos:

$P_{0}(x_{0})=a_{0}^{*}1+a_{1}^{*}0+...+a_{n}^{*}0=y_{0}=a_{0}$

$P_{1}(x_{1})=a_{0}^{*}0+a_{1}^{*}1+...+a_{n}^{*}0=y_{1}=a_{1}$

                             $\vdots$

$P_{n}(x_{n})=a_{0}^{*}0+a_{1}^{*}0+...+a_{n}^{*}1=y_{n}=a_{n}$

Na forma matricial:

 ${\begin{bmatrix}1&0\cdots &0\\0&1\cdots &0\\\vdots &\vdots \ddots &\vdots \\0&0\cdots &1\end{bmatrix}}$    ${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$  =  ${\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

Aplicando o polinômio interpolador de Lagrange obtemos uma matriz identidade bem condicionada em que o sistema linear é prontamente resolvido.

Interpretação geométrica

Dado o conjunto de pontos (2,1) (3,6) (4,4) e (5,5) desejamos construir um polinômio de Lagrange que passe por estes pontos.

Primeiro, construímos os Lk polinômios de Lagrange, perceba que somente um polinômio de Lagrange é não nulo em cada ponto.

Depois construímos os Pn polinômios de Lagrange, observe que cada polinômio ajusta um ponto do conjunto, sendo igual ao valor da ordenada do ponto. E usando a fórmula geral construímos o polinômio P de Lagrange que passa por todos os pontos dados: