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Vetor unitário

vetor de comprimento um
(Redirecionado de Vector unitário)
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Em matemática, um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

No espaço euclidiano, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é devido à fórmula do produto escalar, já que os comprimentos de ambos vetores é 1.

O vetor normalizado û de um vetor não zero u é o vetor unitário codirecional com u, i.e.

O termo vetor normalizado é algumas vezes utilizado simplesmente como sinônimo para vetor unitário.

Os elementos de uma base são geralmente vetores unitários. Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Estes nem sempre são escritos com um circunflexo, mas pode ser normalmente assumido que i, j e k são vetores unitários na maioria dos contextos.

Outros sistemas de coordenadas, como coordenada polar ou coordenada esférica utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.

Índice

O vetorEditar

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.[1]

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se   é o versor de   então:

 

Isto se evidencia por:

 

 

 

 

 

Versores primáriosEditar

Os versores são úteis para diversas operações , alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

  •  
  •  
  •  

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor   pode ser referenciado e operado na forma:

 

O que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Versor na FísicaEditar

Versor tangencialEditar

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial   na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.[2]

 
Versor tangencial   em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.[2]

Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial   que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:

 

A velocidade   é igual à derivada do vetor posição  

 

O vetor posição   não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que   depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo).

No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de   será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.[2]

Se   for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo   (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo,   é sempre maior ou igual que o módulo de  

A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de   só seria igual a   se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. [2]

No limite quando   for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de   será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de   será aproximadamente igual a   A derivada do vetor posição será então,

 
Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições   e  

 

E, substituindo na equação   obtém-se:

 

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida,   em ordem ao tempo, já que   não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.[2]

Versor normalEditar

A aceleração   é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação, [2]

 

,temos :

 

 
Variação do versor tangencial

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de  

Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de   no intervalo desde A até B é o vetor   que une os dois vetores.

Sendo o módulo de   igual a 1, os dois versores   na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo  

Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a  

Se o intervalo de tempo   for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor   será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo   conclui-se que a derivada de   é:

 

Em que   é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e

  representa o valor da {velocidade angular}.

Substituindo essa derivada na equação ...

 

, obtém-se a expressão para a aceleração:

 

Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.

A componente tangencial da aceleração tangencial,   é a aceleração segundo a trajetória.

A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade   pelo valor da velocidade angular  

 

Tendo em conta que os versores   e   são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração,   será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

 

 
Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória

O ângulo de rotação do versor tangencial,   é também igual ao ângulo de rotação do versor normal  

A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).

Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão.

No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial  

 
Raio de curvatura.

A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante  ) e B (instante  ) correspondente ao movimento da figura anterior.

As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes (  e  ), mas

serão iguais no limite   em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.

A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura,   da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento   pode ser aproximado por um arco

de circunferência de raio   e ângulo  

a distância percorrida é o comprimento desse arco :

 

Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:

 

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular   é igual ao valor da velocidade,   dividida pelo raio de curvatura   nesse ponto.

Usando este resultado, a componente normal da aceleração,   pode ser escrita do modo seguinte:

 

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração,   é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.

Aplicação na mecânica dos fluídosEditar

Em mecânica de fluídos, o fluxo de massa fluida escoando por uma superfície S que limita um volume arbitrário no espaço é dado por:

 

onde ρ é a densidade do fluido, v é a velocidade com que as partículas de fluido atravessam a superfície e dS uma medida (a menos do rigor matemático). Notavelmente, n  pode ser substituído por uma relação entre inclinações determinadas por produto vetorial de vetores tangentes em relação a superfície S.

O exemplo do fluxo de massa é apenas um que leva em conta uma das muitas integrais nas quais n tem um papel fundamental. Outros exemplos onde ele figura são: Teorema da Divergência (comumente cunhado como Teorema de Gauss), Teorema do Transporte (de Leibnitz, ou Reynolds), tensor hidrostático, Teorema de Young-Laplace da tensão superficial. [3]

Referências

  1. http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_2)/Geometria_tridimensional/Vetores_no_espa%C3%A7o
  2. a b c d e f [ Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.
  3. «O papel do vetor unitário normal e algo da Mecânica dos Fluidos». mecanicadosfluidosbr. 7 de junho de 2012. Consultado em 4 de julho de 2019 
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