Álgebra de Banach

Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente ou ), em que o produto é associativo e a norma satisfaz:

  • , para todo par

Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua.

  • Se existe uma identidade multiplicativa , chamamos de unidade
  • Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa de modo que . Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital
  • Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação for comutativa
  • Se e é álgebra com a mesma multiplicação de , então dizemos que é subálgebra de
  • Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital

Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento é inversível se existe de modo que . Uma *-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.

Alguns fatosEditar

  • Toda  -álgebra é uma álgebra de Banach, por definição.
  • Em uma álgebra de Banach, o espectro de um elemento é um subconjunto fechado de  .
  • A soma direta de álgebras de Banach ainda é uma álgebra de Banach.
  • Toda álgebra de Banach sobre os reais que é também uma álgebra com divisão é isomorfa ou aos reais ou aos complexos ou aos quatérnios. Isso implica que a única álgebra de Banach sobre os complexos que é também álgebra com divisão é os próprio   (Teorema de Gelfand–Mazur) [1]
  • Numa álgebra de Banach unital, o conjunto dos elementos invertíveis forma um conjunto aberto (na topologia do espaço topológico induzido pela norma)
  • Numa álgebra de Banach unital sobre os reais ou sobre os complexos, se   é elemento da álgebra de modo que  , então   é inversível[1]

Alguns exemplosEditar

  • O conjunto dos reais (ou dos complexos) forma uma álgebra de Banach com a norma dada pelo módulo
  • O espaço de n-uplas reais   (ou complexas  ) é uma ágebra de Banach com a norma   e o produto termo a termo
  • Os quatérnios são uma álgebra de Banach sobre os reais, com a norma sendo o valor absoluto
  • Os quatérnios não formam uma álgebra de Banach sobre os complexos

Teoria espectralEditar

Álgebras unitais sobre os complexos dão um contexto base para a teoria espectral. Dado   elemento da álgebra de Banach unital sobre os complexos, definimos o espectro de   como   . O espectro de um elemento, nestas condições, é compacto e não vazio sempre e satisfaz a formula do raio espectral:

 

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  1. a b Exel, Ruy. «Uma introdução às C*-álgebras» (PDF)