Medida exterior de Lebesgue

Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

As construções modernas para a medida de Lebesgue partem do conceito desta medida exterior.

PropriedadesEditar

  • Seja  , então:
 
  • Em especial:
 
  •   (sub-aditividade)
  • Em especial:
  (monotonicidade)
  • Se   é definido como   então:
  (invariância por translações)
  • Se   é uma transformação linear e   então:
 , onde   é o determinante da transformação.

DefiniçãoEditar

Seja o conjunto elementar  . Define-se o volume de   como:

 

É claro que qualquer subconjunto de   está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

 

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto   é definida como:

 , onde   são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem  .

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de  ,  

Conjuntos de medida zeroEditar

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver tambémEditar

O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração
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