Função Lipschitz contínua

Em matemática, sobretudo na análise real, uma função Lipschitz contínua é um critério de suavidade mais forte que a condição de continuidade uniforme (logo, de continuidade). O nome tem origem no matemático alemão Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.

As funções Lipschitz contínuas são um caso particular das funções Hölder contínuas.

Definição mais geral em espaços métricosEditar

Sejam   e   espaços métricos. Uma função   é dita Lipschitz contínua se existir uma constante real   tal que:

 
 

O ínfimo das constantes   para o qual a desigualdade acima é válida é chamado de constante de Lipschitz.

Caso particular nos reaisEditar

Uma função   é dita Lipschitz contínua, se existir uma constante   tal que:

 

Se   for diferenciável então:

 

GeneralizaçãoEditar

Uma função   é dita localmente Lipschitz contínua se para cada ponto   do domínio existe uma vizinhança   tal que a restrição de   a   é Lipschitz contínua.

Casos especiaisEditar

  • Uma função   é dita uma contração uniforme se sua constante de Lipschitz for menor que 1.
  • Uma função   é dita uma contração se:
     
  • Uma função   é dita não expansiva se sua constante de Lipschitz for igual a 1.