Dízima periódica

repetição de sequência decimal
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Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.[1]

Exemplos de dízimas editar

  - dízima finita (ou decimal exato).

  - dízima infinita (ou decimal não exato).

  - dízima infinita (ou decimal não exato).

Período e comprimento de uma dízima periódica infinita editar

O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima:  .

Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).

Dízima periódica simples editar

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula[1] (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.

Exemplos:

  • 0,444444… - "4" é o período.
  • 0,5125125125… - "512" é o período.
  • 0,68686868… - "68" é o período.
  • 0,354235423542.. - "3542" é o período.
  • 5,73737373... - "73" é o período.

Dízima periódica composta editar

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período[1]. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.

Exemplos:

  • 0,7888… - "7" é o anteperíodo.
  • 0,58444444… - "58" é o anteperíodo.
  • 0,15262626… - "15" é o anteperíodo.
  • 2,34222222... - "34" é o anteperíodo.

Exemplos e notação editar

A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.

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Fração geratriz de uma dízima periódica editar

Toda dízima periódica representa um número racional,[1] isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.

Exemplo editar

1. Seja a dízima  . Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número   para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima:

 

2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

 

3. Se subtrairmos   de   temos:

 

Portanto,  

Este raciocínio dedutivo pode ser aplicado a qualquer dízima periódica para encontrar sua fração geratriz.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

Algoritmo Usual editar

A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo:

  1. Encontre a parte inteira e o período.
  2. Escreva uma fração em que o numerador seja um número formado pelos algarismos da parte inteira e do período subtraído da parte inteira e que o denominador tenha o algarismo 9 para cada dígito que compõe o período.

Exemplo:

 

A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves").

 

Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.[2]

Por exemplo:

 

Anteperíodo: 14, sendo formado por 2 algarismos, logo, o denominador terá dois "zeros".

Período: 275, sendo formado por 3 algarismos, logo, o numerador terá três "noves".

O numerador será um número formado pelos algarismos da parte inteira (0), anteperíodo (14) e período (275), ou seja, 14275, subtraído do anteperíodo (14). O denominador será 99900, pois o período é composto por 3 algarismos (999) e o anteperíodo é composto por 2 algarismos (00). Dessa forma,  . Portanto, a geratriz da dízima 0,14275275... é  .

Dízimas periódicas e séries geométricas infinitas editar

Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente[3][4], por exemplo:

A dízima   (que pode ser reescrita na forma  ) pode ser decomposta na soma infinita  

Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja,   ou  .

Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita:

 
Considerando   o valor absoluto da razão e que  , temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita  :
 
Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima:
 
Portanto,  .

De modo geral, se temos uma dízima periódica com uma parte inteira  , um período   composto por   algarismos e um anteperíodo   composto por   algarismos, podemos representar a dízima como uma série infinita:

 
No caso da dízima periódica simples, as variáveis   e   são nulas, visto que não há anteperíodo. Desta forma, podemos simplificar a fórmula:
 
Exemplo

Seja a dízima periódica composta  , podemos escrevê-la como uma série infinita utilizando o recurso acima, em que:

 ,  ,  ,   e  .

 

Simplificando:

 

 

 

Como   é uma variável indexada que sempre será um número natural após o incremento de uma unidade no somatório, podemos afirmar que a condição   será sempre verdadeira e portanto, teremos uma série convergente, o que nos possibilita encontrar a fração geratriz da dízima a partir da fórmula da série geométrica infinita:

 

Neste caso,  , e como o período possui 2 algarismos,  .

 

Portanto,  .

Ver também editar

Referências

  1. a b c d João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
  2. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015 
  3. TAVARES, Americo. «Números Racionais: Dízimas Periódicas e Série Geométrica». Hi7.co. Consultado em 20 jan. 2021 
  4. LOPES, Rodrigo M. (25 out. 2019). «SEQUÊNCIAS E SÉRIES GEOMÉTRICAS: UMA ABORDAGEM COM VÁRIOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA». XXIII EBRAPEM - XXIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Consultado em 20 jan. 2021