Em matemática e física teórica (especialmente teoria de twistor), o espaço de twistor é o complexo espaço vetorial de soluções da equação de twistor .[1] Foi descrito na década de 1960 por Roger Penrose e Malcolm MacCallum. De acordo com Andrew Hodges, o espaço de twistor é útil para conceituar a maneira como os fótons viajam através do espaço, usando quatro números complexos. Ele também postula que o espaço de twistor pode ajudar na compreensão da assimetria da força nuclear fraca.[2]

Motivação informal

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Nas palavras de Jacques Hadamard: “o caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo”.[3] Portanto, ao estudar o espaço quadridimensional   pode ser valioso identificá-lo com   No entanto, uma vez que não existe uma maneira canônica de fazer isso, em vez disso, todos os isomorfismos que respeitam a orientação e a métrica entre os dois são considerados. Acontece que aquele complexo tridimensional espaço projetivo   parametriza tais isomorfismos juntamente com coordenadas complexas. Assim, uma coordenada complexa descreve a identificação e as outras duas descrevem um ponto em  . Acontece que os fibrados vetoriais com conexões autoduais ativadas  (instantons) correspondem bijetivamente a feixes holomórficos no complexo 3-espaço projetivo  

Definição formal

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Para o espaço de Minkowski, denotado  , as soluções para a equação do twistor são da forma

 

onde   e   são dois espinores Weyl constantes e   é um ponto no espaço de Minkowski. Os   são as matrizes de Pauli, com   the indexes on the matrices. Este espaço de twistor é um espaço vetorial complexo quadridimensional, cujos pontos são denotados por  , e com uma forma hermitiana.

 

que é invariante sob o grupo SU (2,2), que é uma cobertura quádrupla do grupo conforme C(1,3) do espaço-tempo compactado de Minkowski.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

 

Esta relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente se trabalha no espaço do twistor projetivo, denotado  , que é isomórfico como uma variedade complexa para  .

Dado um ponto   está relacionado a uma linha no espaço de torção projetiva onde podemos ver a relação de incidência como dando a incorporação linear de um   parametrizado por  .

A relação geométrica entre o espaço do twistor projetivo e o espaço de Minkowski compactado e complexificado é a mesma que a relação entre linhas e dois planos no espaço de torção; mais precisamente, o espaço do twistor é

 

Tem associado a ele a dupla fibração de variedades de bandeira   where   is the projective twistor space

 

e   é o espaço de Minkowski compactificado e complexificado

 

e o espaço de correspondência entre   e   é

 

Nas circunstâncias acima,   significa espaço projetivo,   um Grassmanniano, e   uma variedade de sinalização. A dupla fibração dá origem a duas correspondências (ver também transformada de Penrose),   e  

O espaço de Minkowski complexificado e compactado   está embutido em   pela incorporação de Plücker; a imagem é a quádrica de Klein.[4][5]

Referências

  1. «Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time». Physics Reports (em inglês) (4): 241–315. 1 de fevereiro de 1973. ISSN 0370-1573. doi:10.1016/0370-1573(73)90008-2. Consultado em 16 de setembro de 2021 
  2. Hodges, Andrew (14 de maio de 2010). One to Nine: The Inner Life of Numbers (em inglês). [S.l.]: Doubleday Canada 
  3. «Source of Jacques Hadamard quote». homepage.divms.uiowa.edu. Consultado em 20 de setembro de 2021 
  4. Albrecht., Rosenbaum, Ute. Beutelspacher, (1998). Projective Geometry : From Foundations to Applications. [S.l.]: Cambridge University Press. OCLC 878099753 
  5. «Hermann Günther Graßmann». Basel: Birkhäuser Basel. 2009: 117–222. Consultado em 20 de setembro de 2021 
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