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Espaço paracompacto

Em matemática, em especial na análise funcional e topologia, um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta admite um refinamento localmente finito.

Conceitos preliminaresEditar

Definição 1: Um refinamento de uma cobertura de um espaço X é uma nova cobertura do mesmo espaço tal que cada conjunto da nova cobertura é um subconjunto de algum elemento da antiga cobertura. Simbolicamente, a cobertura   é um refinamento da cobertura   se, e somente se, para qualquer  , existe algum   tal que   está contido em  .

Definição 2: Uma cobertura aberta de um espaço topológico   é localmente finita se todo ponto do espaço admite uma vizinhança aberta que intersecta apenas um número finito de elementos da cobertura. Simbolicamente,   é localmente finito se, e somente se,  , existe uma vizinhança   de   tal que o conjunto:

  é finito.

O conceito de paracompacidade é uma das mais úteis generalizações de compacidade descobertas nos últimos anos. É particularmente útil para aplicações em topologia e geometria diferencial.

Muitos espaços que nos são familiares já são paracompactos. Por exemplo, todo espaço compacto é paracompacto; isto é consequência imediata da definição. Também é verdadeiro que espaços metrizáveis são paracompactos; este teorema se deve a Arthur Harold Stone. Logo, a classe dos espaços paracompactos inclui importantes classes de espaços topológicos.

Para poder observar como a paracompacidade generaliza o conceito de compacidade, recordamos a definição de compacidade:

"Um espaço   é dito compacto se toda cobertura aberta de X,   admite uma subcobertura finita"

Um modo equivalente de dizer isto é:

"Um espaço   é compacto se toda cobertura aberta   tem um refinamento finito   que cobre  "

Esta definição é equivalente à usual: dado um refinamento  , pode-se escolher, para cada elemento de   um elemento de   que o contém; deste modo obtemos uma subcoleção finita de   que cobre  .

Esta nova formulação de compacidade é, talvez, embaraçosa, mas nos sugere um modo de generalizar:

Definição: Um espaço topológico   é paracompacto se toda cobertura aberta   de   admite um refinamento localmente finito   que cobre  .

Exemplo: O espaço   com a topologia induzida pela métrica,  é paracompacto. Seja  . Seja   uma cobertura aberta de  . Seja, ainda,  , e para cada inteiro positivo  , seja   a bola aberta de raio   centrada na origem. Dado  , escolha um número finito de elementos de   que cubra   e intersecte cada uma com o conjunto aberto  ; denote esta coleção finita de conjuntos abertos por  . Então a coleção   é um refinamento de  . É claro que este refinamento é localmente finito, pois o aberto   intersecta apenas um número finito de elementos de   , a saber aqueles que pertencem à coleção  . Finalmente,   cobre  , pois dado  , seja   o menor inteiro tal que  .

Comparação com compacidadeEditar

A paracompacidade é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:

  • Todo subconjunto fechado de um conjunto paracompacto é paracompacto;
  • Todo conjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff é normal.

A paracompacidade é diferente da compacidade nos seguintes aspectos:

  • Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa, necessariamente, ser fechado. de fato, para o caso de espaços métricos, qualquer subconjunto é paracompacto.
  • O produto cartesiano de espaços paracompactos não é, necessariamente, paracompacto.   com a topologia do limite inferior, o plano de Sogenfrey, é um exemplo clássico disto.