Distribuição de Bernoulli

Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso $p$ e valor 0 com a probabilidade de falha $q=1-p$.

Distribuição de Bernoulli
Densidade de probabilidade A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição de Bernoulli ~ Bern(0.5)
Função de distribuição acumulada A cor amarela representa a função f de distribuição acumulada da distribuição de Bernoulli ~ Bern(0.5)
Parâmetros	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
Suporte	$k\in \{0,1\}$
f.d.p.	${\begin{cases}1-p&{\text{se }}k=0\\[6pt]p&{\text{se }}k=1.\end{cases}}$
f.d.a.	${\begin{cases}0&{\text{se }}k<0\\[6pt]1-p&{\text{se }}0\leq k<1\\[6pt]1&{\text{se }}k\geq 1\end{cases}}$
Média	$p$
Mediana	${\begin{cases}0&{\text{se }}p<0.5,\\[6pt]0.5&{\text{se }}p=0.5,\\[6pt]1&{\text{se }}p>0.5.\end{cases}}$
Moda	${\begin{cases}0&{\text{se }}p<0.5,\\[6pt]0,1&{\text{se }}p=0.5,\\[6pt]1&{\text{se }}p>0.5.\end{cases}}$
Variância	$p(1-p)$
Obliquidade	${\frac {1-2p}{\sqrt {p(1-p)}}}$
Curtose	${\frac {1-6p(1-p)}{p(1-p)}}$
Entropia	$-(1-p)ln(1-p)-pln(p)$
Função Geradora de Momentos	$1-p+pe^{t}$
Função Característica	$1-p+pe^{it}$

Propriedades

Se $X$ é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

$P(X=1)=1-P(X=0)=1-q=p.\!$

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar "coroa" com probabilidade $p$ e "cara" com probabilidade $1-p$. A experiência é dita justa se $p=0.5$, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados tem a mesma probabilidade).

A [função de probabilidade] $f$ dessa distribuição é

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{se }}k=1,\\[6pt]1-p&{\text{se }}k=0.\end{cases}}$

Também pode ser expresso como

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\quad {\text{para }}k\in \{0,1\}.$

O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli $X$ é $E\left(X\right)=p$, e sua variância é

${\textrm {Var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,$

A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial, com $n=1$.

A curtose vai até o infinito para grandes e pequenos valores de $p$, mas para $p=1/2$ a distribuição de Bernoulli tem um excesso de curtose mais baixo que qualquer outra distribuição de probabilidade (-2).

As distribuições de Bernoulli para $0\leq p\leq 1$ formam uma família exponiencial.

O estimador de máxima verossimilhança de $p$ baseada em uma amostra aleatória é a média amostral.

Distribuições relacionadas

• Se $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\,$ são n distribuições de Bernoulli independentes com o mesmo parâmetro p, então sua soma $X=\Sigma X_{i}\,$ é a distribuição binomial ${\mbox{Binomial}}(n,p)\,$.
• A distribuição categórica é a generalização da distribuição de Bernoulli para variáveis com qualquer quantidade constante de valores discretos.
• A distribuição beta é o conjugado a priori da distribuição de Bernoulli.
• A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli independentes e idênticos necessários para conseguir um sucesso.

Ver também

• Processo de Bernoulli