Sejam
J
,
C
{\displaystyle J,C}
categorias, a primeira chamada categoria de índices , e functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
. Aqui, para cada
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
, denota-se por
Δ
(
c
)
:
J
→
C
{\displaystyle \Delta (c):J\to C}
o functor constante , definido por:
Δ
(
c
)
(
i
)
=
c
{\displaystyle \Delta (c)(i)=c}
para cada
i
∈
J
{\displaystyle i\in J}
;
Δ
(
c
)
(
u
:
i
→
j
)
=
1
c
{\displaystyle \Delta (c)(u:i\to j)=1_{c}}
para cada
u
{\displaystyle u}
morfismo em
J
{\displaystyle J}
.[ 3]
Um cone do vértice
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
ao functor
F
{\displaystyle F}
é uma transformação natural
Δ
(
c
)
→
˙
F
{\displaystyle \Delta (c){\dot {\to }}F}
, e, dualmente, um cone de
F
{\displaystyle F}
ao vértice
c
{\displaystyle c}
é uma transformação natural
F
→
˙
Δ
(
c
)
{\displaystyle F{\dot {\to }}\Delta (c)}
.[ 4] Em símbolos:
C
o
n
e
(
c
,
F
)
=
N
a
t
(
Δ
(
c
)
,
F
)
,
{\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),}
C
o
n
e
(
F
,
c
)
=
N
a
t
(
F
,
Δ
(
c
)
)
.
{\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).}
A condição de naturalidade para cones de
c
{\displaystyle c}
a
F
{\displaystyle F}
é
F
(
k
)
∘
λ
i
=
λ
j
{\displaystyle F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}}
para cada
k
:
i
→
j
{\displaystyle k:i\to j}
em
J
{\displaystyle J}
, ou seja,
λ
i
↗
F
(
i
)
c
↓
F
(
k
)
λ
j
↘
F
(
j
)
,
{\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},}
e cones de
F
{\displaystyle F}
a
c
{\displaystyle c}
satisfazem a condição dual.
Adicionalmente, temos functor
C
o
n
e
(
−
,
F
)
:
C
o
p
→
S
e
t
{\displaystyle \mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}
(e analogamente
C
o
n
e
(
F
,
−
)
:
C
→
S
e
t
{\displaystyle \mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}}
); para cada
f
:
c
→
d
{\displaystyle f:c\to d}
,
C
o
n
e
(
f
,
F
)
{\displaystyle \mathrm {Cone} (f,F)}
leva uma transformação natural de componentes
λ
i
:
d
→
F
(
i
)
{\displaystyle \lambda _{i}:d\to F(i)}
a uma de componentes
λ
i
∘
f
:
c
→
F
(
i
)
{\displaystyle \lambda _{i}\circ f:c\to F(i)}
.[ 5]
Limites e colimites
editar
Em cada representação
hom
C
o
p
(
a
,
−
)
=
hom
C
(
−
,
a
)
≅
C
o
n
e
(
−
,
F
)
,
{\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),}
o objeto
a
{\displaystyle a}
é chamado de limite de
F
{\displaystyle F}
; o correspondente elemento universal
λ
∈
C
o
n
e
(
a
,
F
)
{\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)}
é chamado cone limitante . Noutras palavras,
λ
:
Δ
(
a
)
→
˙
F
{\displaystyle \lambda :\Delta (a){\dot {\to }}F}
é cone limitante se e só se, para cada outro cone
μ
:
Δ
(
b
)
→
˙
F
{\displaystyle \mu :\Delta (b){\dot {\to }}F}
, há precisamente uma seta
f
:
b
→
a
{\displaystyle f:b\to a}
tal que
μ
j
=
λ
j
∘
f
{\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f}
para cada
j
∈
J
{\displaystyle j\in J}
.
Dualmente, numa representação
hom
C
(
a
,
−
)
≅
C
o
n
e
(
F
,
−
)
,
{\displaystyle \hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),}
o objeto
a
{\displaystyle a}
é chamado de colimite de
F
{\displaystyle F}
, e o elemento universal
λ
∈
C
o
n
e
(
F
,
a
)
{\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)}
é chamado cone colimitante .
Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda ), e são denotados respectivamente por
l
i
m
F
{\displaystyle \mathrm {lim} \,F}
,
c
o
l
i
m
F
{\displaystyle \mathrm {colim} \,F}
.[ 4] [ 1] [ 2]
Um limite para um functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
é chamado:
produto quando
J
{\displaystyle J}
é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:
hom
C
(
c
,
a
×
b
)
≅
C
o
n
e
(
c
,
F
)
≅
hom
C
(
c
,
a
)
×
hom
C
(
c
,
b
)
,
{\displaystyle \hom _{C}(c,a\times b)\cong \mathrm {Cone} (c,F)\cong \hom _{C}(c,a)\times \hom _{C}(c,b),}
onde
a
,
b
{\displaystyle a,b}
são as imagens de
F
{\displaystyle F}
nos dois objetos de
J
{\displaystyle J}
.
objeto terminal quando
J
{\displaystyle J}
é vazia. A representação acima se reduz a:
hom
C
(
a
,
t
)
≅
C
o
n
e
(
a
,
F
)
≅
⋆
,
{\displaystyle \hom _{C}(a,t)\cong \mathrm {Cone} (a,F)\cong \star ,}
onde
⋆
{\displaystyle \star }
é conjunto de exatamente um elemento.
equalizador quando
J
=
∙
⇉
∙
{\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }
(duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
produto fibrado (ou pullback ) quando
J
=
∙
→
∙
←
∙
{\displaystyle J=\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }
.
Dualmente, um colimite para
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
é chamado:
coproduto quando
J
{\displaystyle J}
é discreta.
objeto inicial quando
J
{\displaystyle J}
é vazia.
coequalizador quando
J
=
∙
⇉
∙
{\displaystyle J=\bullet \rightrightarrows \bullet }
.
coproduto fibrado (ou pushout ) quando
J
=
∙
←
∙
→
∙
{\displaystyle J=\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet }
.[ 6] [ 2] [ 1]
Quando a categoria
C
{\displaystyle C}
é uma pré-ordem ,
o limite de um functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
é o ínfimo
inf
i
∈
J
F
(
i
)
{\displaystyle \inf _{i\in J}{F(i)}}
.
o colimite de um functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
é o supremo
sup
i
∈
J
F
(
i
)
{\displaystyle \sup _{i\in J}{F(i)}}
.[ 7]
Categorias completas e cocompletas
editar
Uma categoria
C
{\displaystyle C}
é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena
J
{\displaystyle J}
, todo functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
tem limite. Dualmente,
C
{\displaystyle C}
é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
tal que
J
{\displaystyle J}
é categoria pequena tem colimite.
Se
C
{\displaystyle C}
tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então
C
{\displaystyle C}
é completa. Com efeito, um limite de
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
é o domínio
d
{\displaystyle d}
do equalizador:
f
d
→
e
∏
i
∈
J
F
(
i
)
⇉
∏
u
:
j
→
k
F
(
k
)
,
g
{\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}}
em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo,
p
(
−
)
{\displaystyle p_{(-)}}
denota as projeções dos produtos):
p
u
∘
f
=
p
k
p
u
∘
g
=
F
(
u
)
∘
p
j
para cada seta
u
:
j
→
k
,
{\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,}
e o cone limitante tem componentes
p
i
∘
e
:
d
→
F
(
i
)
{\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)}
para cada
i
∈
J
{\displaystyle i\in J}
.[ 8]
Na categoria dos conjuntos
editar
A categoria
S
e
t
{\displaystyle {\mathsf {Set}}}
dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor
F
:
J
→
S
e
t
{\displaystyle F:J\to {\mathsf {Set}}}
:
lim
F
≅
C
o
n
e
(
⋆
,
F
)
≅
{
f
∈
∏
i
∈
J
F
(
i
)
∣
∀
(
j
,
k
∈
J
)
∀
(
u
:
j
→
k
)
F
(
u
)
(
f
(
j
)
)
=
f
(
k
)
}
,
{\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},}
colim
F
≅
(
∐
i
∈
J
F
(
i
)
)
/
∼
,
{\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,}
onde
∼
{\displaystyle \sim }
é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo,
ι
j
:
F
(
j
)
→
∐
i
∈
I
F
(
i
)
{\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}}
denota as inclusões no coproduto ):
ι
j
(
x
)
∼
ι
k
(
F
(
u
)
(
x
)
)
{\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))}
para cada
x
∈
F
(
j
)
{\displaystyle x\in F(j)}
e
u
:
j
→
k
{\displaystyle u:j\to k}
.[ 9] [ 10]
Adjunção com o functor diagonal Δ
editar
O functor
Δ
:
C
→
C
J
{\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}
tem adjunto direito se e só se
C
{\displaystyle C}
admite todos os limites indexados por
J
{\displaystyle J}
, e tem adjunto esquerdo se e só se
C
{\displaystyle C}
admite todos os limites indexados por
J
{\displaystyle J}
:
hom
C
J
(
Δ
(
c
)
,
F
)
≅
hom
C
(
c
,
lim
F
)
{\displaystyle \hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)}
,
hom
C
(
colim
F
,
c
)
≅
hom
C
J
(
F
,
Δ
(
c
)
)
{\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))}
.
Neste caso,
colim
⊣
Δ
⊣
lim
{\displaystyle \operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim} }
, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores
C
J
→
C
{\displaystyle C^{J}\to C}
.[ 11]
Functores e limites
editar
Um functor
U
:
C
→
D
{\displaystyle U:C\to D}
:
preserva os limites de
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
se e só se, para cada cone limitante
λ
:
Δ
(
c
)
→
˙
F
{\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}
, também
U
λ
:
Δ
(
U
(
c
)
)
→
˙
U
F
{\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}
é cone limitante.
reflete os limites de
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
se e só se, para cada cone
λ
:
Δ
(
c
)
→
˙
F
{\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}
tal que
U
λ
:
Δ
(
U
(
c
)
)
→
˙
U
F
{\displaystyle U\lambda :\Delta (U(c)){\dot {\to }}UF}
é cone limitante, também
λ
{\displaystyle \lambda }
é cone limitante.
cria os limites de um functor
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
tal que
U
F
:
J
→
D
{\displaystyle UF:J\to D}
tem limite se e só se
F
:
J
→
C
{\displaystyle F:J\to C}
também tem limite, e
U
{\displaystyle U}
preserva e reflete os limites de
F
{\displaystyle F}
.[ 12]
estritamente cria os limites de
F
{\displaystyle F}
se e só se, para cada cone limitante
μ
:
Δ
(
d
)
→
˙
U
F
{\displaystyle \mu :\Delta (d){\dot {\to }}UF}
, há único
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
e cone
λ
:
Δ
(
c
)
→
˙
F
{\displaystyle \lambda :\Delta (c){\dot {\to }}F}
tal que
μ
=
U
λ
{\displaystyle \mu =U\lambda }
, e ainda mais este
λ
{\displaystyle \lambda }
é cone limitante.[ 13]
(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria .[ 14] ) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites .
Um functor
U
:
C
→
D
{\displaystyle U:C\to D}
é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo ) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).
Os functores
hom
C
(
c
,
−
)
:
C
→
S
e
t
{\displaystyle \hom _{C}(c,-):C\to {\mathsf {Set}}}
são sempre contínuos.[ 15] Assim, têm-se isomorfismos:[ 16]
hom
C
(
c
,
lim
F
)
≅
lim
(
hom
C
(
c
,
F
(
−
)
)
)
{\displaystyle \hom _{C}(c,\lim F)\cong \lim(\hom _{C}(c,F(-)))}
hom
C
(
colim
F
,
c
)
≅
lim
(
hom
C
(
F
(
−
)
,
c
)
)
{\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \lim(\hom _{C}(F(-),c))}
Propriedades
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Limites pontualmente
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Um limite de um functor F : J → C A existe precisamente quando cada functor E a ∘ F : J → C tem limite (onde E a : C A → C é a aplicação em a ), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L (a ) é limite de E a ∘ F para cada a ∈ A .[ 17]
Limites comutam
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Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I , F (i , –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor
limj ∈ J F (–, j ) : I → C ,
que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.
Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo
limi ∈ I limj ∈ J F (i , j ) ≅ limj ∈ J limi ∈ I F (i , j ) .[ 18]
Troca de limite com colimite
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Para cada functor F : I × J → C , há uma seta "canônica"
colimi ∈ I limj ∈ J F (i , j ) → limj ∈ J colimi ∈ I F (i , j ) ,
quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos , uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I ); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.[ 18]
Referências
↑ a b c (Mac Lane , §III.3)
↑ a b c (Mac Lane , §III.4)
↑ (Mac Lane , §III.3."colimits")
↑ a b (Riehl , §3.1)
↑ (Riehl , exercício 3.1.i)
↑ (Riehl , §3.1, págs. 77–81)
↑ (Riehl , Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
↑ (Mac Lane , §V.1, §V.2)
↑ (Riehl , §3.2)
↑ «Limits and colimits by example – n Lab» . Consultado em 22 de fevereiro de 2020
↑ (Riehl , §4.5)
↑ «Created limit – n Lab» . Consultado em 16 de fevereiro de 2020
↑ (Riehl , §3.3)
↑ (Mac Lane , §V.1, definição)
↑ (Mac Lane , §V.4)
↑ (Riehl , §3.4)
↑ (Riehl , §3.3, proposição 3.3.9)
↑ a b (Riehl , §3.8)
Bibliografia
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Ligações externas
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