Objeto inicial

Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria $C$ é um objeto $s\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$ , há exatamente um morfismo $s\to x$ . Dualmente, um objeto terminal (ou final) de $C$ é um objeto $t\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$ , há exatamente um morfismo $x\to t$ . Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final.^[1]

Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se $s,s'$ são ambos iniciais, há únicos morfismos $f:s\to s',\,g:s'\to s$ , e $f\circ g=1_{s'},\,g\circ f=1_{s}$ pela definição de objeto inicial.^[2] Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo.

Exemplos

Na categoria ${\mathsf {Set}}$ dos conjuntos, o objeto inicial é o conjunto vazio (a função $\emptyset \to X$ é a função de gráfico vazio), e cada conjunto $\{x\}$ de um elemento é terminal.
Na categoria ${\mathsf {Grp}}$ dos grupos, o grupo nulo é simultaneamente inicial e terminal, logo é um objeto zero.^[1]
Conceitos da teoria das categorias, como functores representáveis, limites e colimites, podem ser expressos como objetos iniciais ou terminais numa categoria adequada.^[3]

Existência

O teorema de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se $D$ é uma categoria pequeno-completa e com conjuntos $\hom$ pequenos, $D$ tem objeto inicial se e só se satisfaz:

Existe conjunto pequeno

I

e família

\{k_{i}\}_{i\in I}

de objetos de

D

, tal que, para cada

d\in D

, há morfismo

k_{i}\to d

para algum

i\in I

.^[4]

Demonstração

A parte "só se" segue da definição de objeto inicial.

Reciprocamente, seja $\{k_{i}\in D\}_{i\in I}$ como acima. Como $D$ é pequeno-completa e $I$ é pequeno, há produto

w=\prod _{i\in I}{k_{i}}

em

D

. Já que

\hom _{D}(w,w)

é pequeno, há equalizador

e:v\to w

do conjunto de todos os morfismos

w\to w

.

{\begin{array}{r c l c l}&&&\scriptstyle {f,g}\\u&{\xrightarrow {e'}}&v&\rightrightarrows &d\\{\scriptstyle {s}}\uparrow &&\downarrow \scriptstyle {e}&&\uparrow \\w&&w&{\xrightarrow {p_{i}}}&k_{i}\end{array}}

Para cada $d\in D$ , há então alguma seta $v\to d$ , a saber, uma composição da forma $v{\xrightarrow {e}}w{\xrightarrow {p_{i}}}k_{i}\to d$ . Para mostrar que $v$ é inicial, basta mostrar que quaisquer setas $f,g:v\to d$ coincidem. Considere o equalizador $e':u\to v$ de $f,g$ . Há seta $s:w\to k_{j}\to u$ , logo $e\circ e'\circ s:w\to w$ . Já que $e$ é equalizador dos morfismos $w\to w$ ,

(e\circ e'\circ s)\circ e=1_{w}\circ e=e\circ 1_{v}.

Como equalizadores são monomorfismos,

e'\circ s\circ e=1_{v}

. Então, de

f\circ e'=g\circ e'

,

f=f\circ e'\circ s\circ e=g\circ e'\circ s\circ g=g,

como requerido.

O teorema especial de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se $C$ é categoria pequeno-completa, com conjuntos $hom$ pequenos, tem família cosseparadora $T$ pequena e é tal que toda família de monomorfismos de mesmo contradomínio tem produto fibrado (noutras palavras, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então $C$ tem objeto inicial.^[5]

Demonstração

Denote por $q$ o produto dos objetos em $T$ , e seja $i \to q$ o produto fibrado de todos os monomorfismos para $q$ . Mostra-se que $i$ é objeto inicial.

Que $T$ é cosseparador equivale a que, para cada $c \in C$ , a seta

f_{c}:c\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,

com componentes

p h : c \to k \circ p k \circ f c = h

é monomorfismo. Também há a seta

g:\prod _{k\in T}k\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,

com componentes

p h : c \to k \circ p k \circ g = p k

. Forma-se o produto fibrado:

{\begin{array}{c c l}r&\rightarrow &c\\\downarrow &&\downarrow f_{c}\\q&{\xrightarrow {g}}&\prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k.\end{array}}

Como

f c

é monomorfismo,

r \to q

também é monomorfismo; pela definição de

i

, há seta

i \to r

, e, em particular, há seta

i \to r \to c

. Se houvesse mais de uma seta

i \to c

, o equalizador entre elas seria um subobjeto próprio de

i

, contradizendo a definição de

i

. Portanto, há única seta

i \to c

.

Ver também

Ligações externas

Referências

↑ ^a ^b (Mac Lane, §I.5)
↑ (Aluffi, §I.5)
↑ "The most basic formulation of a universal property is to say that a particular object defines an initial or terminal object in its ambient category. The problem with this paradigm is that the most familiar categories—for instance, of sets, spaces, groups, modules, and so on—tend to have uninteresting initial and terminal objects. To express the universal properties of more complicated objects, one has to cook up a less familiar category." (Riehl, §2.1)
↑ (Mac Lane, §V.6)
↑ (Riehl, §4.6)

Bibliografia

ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7
RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

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[maclaneInic-1] (Mac Lane, §I.5)

[aluffi-2] (Aluffi, §I.5)

[3] "The most basic formulation of a universal property is to say that a particular object defines an initial or terminal object in its ambient category. The problem with this paradigm is that the most familiar categories—for instance, of sets, spaces, groups, modules, and so on—tend to have uninteresting initial and terminal objects. To express the universal properties of more complicated objects, one has to cook up a less familiar category." (Riehl, §2.1)

[4] (Mac Lane, §V.6)

[5] (Riehl, §4.6)

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[4]

[5]