Fórmula quadrática

Em álgebra, a fórmula quadrática é a solução da equação do 2º grau (ou equação quadrática).

A fórmula quadrática expressa a solução da equação ax2 + bx + c = 0, onde a é diferente de 0.

Existem outras maneiras de se chegar à resolução da equação quadrática: em vez de usar a fórmula quadrática, pode-se usar fatoração, o método de completação de quadrados ou o gráfico da função. Mas a fórmula quadrática é, geralmente, mais conveniente. No Brasil, por volta de 1960, essa fórmula passou a ser chamada, erroneamente, de "fórmula de Bhaskara". Não se vê essa nomeclatura em outros países, mesmo porque não foi Bhaskara quem a descobriu. Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite[1].

A equação quadrática geral é:

onde x representa um valor desconhecido, enquanto a , b e c são constantes, sendo a diferente de zero (se assim não fosse, a equação passaria a ser do 1º grau). Ao inserir a fórmula quadrática na equação do 2º grau, pode-se verificar que a fórmula quadrática satisfaz à equação: as duas soluções dadas pela fórmula são as raízes da equação.

DemonstraçãoEditar

Quando os alunos aprendem o método de completar quadrados , eles podem deduzir a fórmula quadrática[2] · [3]. Por isso, a demonstração da fórmula quadrática às vezes é deixada a eles como exercício, para que possam redescobri-la 3 , 4 . Se (por exemplo)  são números complexos (com  ), as soluções de   são:

 , onde   designa uma raiz quadrada de  .

O sinal de mais-menos ("±") indica que a equação quadrática tem duas soluções. Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática.

Fórmula de Bhaskara?Editar

No mundo acadêmico, é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No Basil, o nome de Bhaskara Akaria (c. 1114–1185) passou a designar o nome da fórmula quadrática. Não se vê essa nomenclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. As fórmulas surgiriam na Matemática somente 400 anos depois de sua morte[4][5].

As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos, há cerca de 4 000 anos. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática.[4]

O matemático indiano Brahmagupta (597668) descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta[6], publicado em 628 dC, mas escrito em palavras em vez de símbolos[7]. Sua solução da equação quadrática ax2 + bx = c foi a seguinte: "Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicione o quadrado do [coeficiente do] termo médio; o raiz quadrada do mesmo, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [coeficiente do] quadrado é o valor."[8] Isso é equivalente a:

 

O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Sridhara [en] (870-930 d.C.),[9] que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes[10]. A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.

Referências

  1. Guido Walz: Gleichungen und Ungleichungen: Klartext für Nichtmathematiker. Springer, 2018, ISBN 9783658216696, S. 14.
  2. (em inglês) Rich, Barnett; Schmidt, Philip. Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra. McGraw-Hill, 2004, p. 291, capítulo 13 §4.4 ISBN 0-07-141083-X
  3. (em inglês) Xuhui Li, An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, 2007 p. 56 : Citação: The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square.
  4. a b Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara?
  5. Casos de Matemática: Bháskara não criou a Fórmula de Bháskara!. Por Daniela Mendes. laboratoriosustentaveldematematica.com.
  6. Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
  7. Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
  8. Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). [S.l.]: Springer. p. 87. ISBN 0-387-95336-1 
  9. Sridharacharya Formula, cuemath.com
  10. «Sridhara. Quick Info», MacTutor