Completamento de quadrados

técnica utilizada para resolver uma equação quadrática

Na álgebra elementar, completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma

Animação representando o processo de completar o quadrado

para a forma

para alguns valores de e .

O completamento de quadrado é usado em

Em matemática, o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.

Visão geralEditar

ContextoEditar

A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:

 

Por exemplo:

 

Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de   é duas vezes o número  , e o termo constante é igual a  .

Exemplo básicoEditar

Considere o seguinte polinômio quadrático:

 

Esse quadrático não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

 

No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:

 

Isso é chamado de completar o quadrado.

Descrição geralEditar

Dada qualquer quadrática mônica

 

é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:

 

Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

 

onde  . Por exemplo:

 

Caso não-mônicoEditar

Dado um polinômio quadrático da forma

 

é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.

Exemplo:

 

Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma

 

FórmulaEditar

Caso escalarEditar

O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:[1]

 

Especificamente, quando  :

 

Case matricialEditar

O caso das matrizes é muito semelhante:

 

onde   tem que ser simétrica.

Se   não é simétrica as fórmulas para   e   devem ser generalizadas para:

 .

Relação com o gráficoEditar

Gráficos de funções quadráticas deslocados para a direita por  .
Gráficos de funções quadráticas deslocadas para cima por  .
Os gráficos das funções quadráticas deslocaram-se para cima e para a direita em 0, 5, 10 e 15.

Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano  . Dado um polinômio quadrático da forma

 

os números   e   podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja,   é a coordenada   do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação  ) e   é o valor mínimo (ou valor máximo, se  ) da função quadrática.

Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função   é uma parábola cujo vértice está na origem  . Portanto, o gráfico da função   é uma parábola deslocada para a direita por   cujo vértice está em  , conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função   é uma parábola deslocada para cima por   cujo vértice está em  , como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz   é uma parábola deslocada para a direita por   e para cima por   cujo vértice está em  , como mostrado em a figura de baixo.

Resolvendo equações quadráticasEditar

Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

 

O primeiro passo é completar o quadrado:

 

Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

 

Então

 

e portanto

 

Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o   tem um coeficiente diferente de  , o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

Raízes irracionais e complexasEditar

Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

 

Completar o quadrado dá

 

então

 

Logo,

 

Em linguagem terser:

 

então

 

Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

 

Caso não-mônicoEditar

Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de  . Por exemplo:

 

A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

Outras aplicaçõesEditar

IntegraçãoEditar

O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma

 

usando as integrais básicas

 

Por exemplo, considere a integral

 

Completar o quadrado no denominador fornece:

 

Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição  , que gera

 

Números complexosEditar

Considere a expressão

 

onde   e   são números complexos,   e   são os conjugados complexos de   e  , respectivamente, e   é um número real. Usando a identidade  , podemos reescrever isso como

 

o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

 

Como outro exemplo, a expressão

 

onde  ,  ,  ,   e   são números reais, com   e  , podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

 

Assim,

 

então

 

Matriz idempotenteEditar

Uma matriz   é idempotente quando  . As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de   e  . O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação

 

mostra que algumas matrizes   idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano  :

A matriz   será idempotente desde que   que, ao completar o quadrado, se torna

 

No plano  , essa é a equação de um círculo com centro   e raio  .

Perspectiva geométricaEditar

Considere completar o quadrado para a equação

 

Como   representa a área de um quadrado com o lado de comprimento  , e   representa a área de um retângulo com os lados   e  , o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

Tentativas simples de combinar os retângulos   e   em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

Uma variação na técnicaEditar

Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo,  ,

 

para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio,   ou  , a

 

para obter um quadrado.

Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíprocoEditar

Ao escrever

 

mostramos que a soma de um número positivo   e seu recíproco é sempre maior ou igual a  . O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos   justamente quando   é  , fazendo com que o quadrado desapareça.

Exemplo: fatorando um polinômio quártico simplesEditar

Considere o problema de fatorar o polinômio

 

Isto é

 

então o termo do meio é  . Assim temos

 

(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar

 
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