Fórmulas de Viète

Em matemática, as fórmulas de Viète são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes. Esta denominação deve-se a François Viète, e são usadas especialmente em álgebra.

LeisEditar

Fórmulas básicasEditar

Um polinômio geral qualquer de grau n

 

(sendo os coeficientes números reais ou complexos e an ≠ 0) tem, conforme estabelece o teorema fundamental da álgebra, n raízes complexas (não necessariamente distintas) x1x2, ..., xn. As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio { ak } com somas e produtos (positivos ou negativos) de suas raízes { xi } como segue:

 

Estabelecido de forma equivalente, o (n − k)-ésimo coeficiente ank é relacionado à soma acrescida de sinal de todos os possíveis subprodutos de raízes, tomando k por exemplo:

 

para k = 1, 2, ..., n (onde os índices ik são expressos em ordem crescente, a fim de garantir que cada subproduto de raízes seja considerado apenas uma vez).

Generalização para anéisEditar

As fórmulas de Viète são frequentemente usadas com polinômios com coeficientes em um domínio de integridade R. Neste caso os quocientes   pertencem ao anel de frações de R (ou em R mesmo se   é inversível em R) e as raízes   são tomadas em um corpo algebricamente fechado. Tipicamente, R é o anel dos inteiros, o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos.

As fórmulas de Viète são fudamentais nestas situações, porque fornecem relações entre as raízes sem a necessidade de as determinar.

Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio de integridade, as fórmulas de Viète são válidas somente quando   é um zero não-divisor e   é fatorado como  . Por exemplo, no anel dos inteiros módulo 8, o polinômio   tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète não são válidas se, por exemplo,   e  , porque  . Contudo,   fatora como   e como  , e as fórmulas de Viète são válidas se fixamos   e   ou   e  .

Exemplos geraisEditar

Fórmulas de Viète aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:

Para polinômios de segundo grau  , as raízes   da equação   satisfazem

 

A primeira destas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P.

Para o polinômio cúbico  , as raízes   da equação   satisfazem

 

ProvaEditar

As fórmulas de Viète podem ser provadas por expansão da igualdade

 

que é verificada como válida sendo   todas raízes deste polinômio, expandindo esta expressão e identificando os coeficientes de cada potência de  

Formalmente, expandindo   os termos são exatamente   onde   é 0 ou 1, sendo   incluído no produto ou não, e k é o número de   que são excluídos, sendo o número total de fatores no produto n (contando   com multiplicidade k) – havendo n escolhas binárias (inclusive   ou x), há   termos – geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. Agrupando estes termos por grau é obtido o polinômio simétrico elementar em   – para xk, todos os distintos k-ésimos produtos de  

Ver tambémEditar

ReferencesEditar

  • Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, ISBN 0-387-24299-6, Springer, New York, NY 

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