Fórmulas de Viète

relação matemática entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes

Em matemática, as fórmulas de Viète são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes. Esta denominação deve-se a François Viète, e são usadas especialmente em álgebra.

Fórmulas básicas

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Um polinômio geral qualquer de grau n

 

(sendo os coeficientes números reais ou complexos e an ≠ 0) tem, conforme estabelece o teorema fundamental da álgebra, n raízes complexas (não necessariamente distintas) x1x2, ..., xn. As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio { ak } com somas e produtos (positivos ou negativos) de suas raízes { xi } como segue:

 

Estabelecido de forma equivalente, o (n − k)-ésimo coeficiente ank é relacionado à soma acrescida de sinal de todos os possíveis subprodutos de raízes, tomando k por exemplo:

 

para k = 1, 2, ..., n (onde os índices ik são expressos em ordem crescente, a fim de garantir que cada subproduto de raízes seja considerado apenas uma vez).

Generalização para anéis

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As fórmulas de Viète são frequentemente usadas com polinômios com coeficientes em um domínio de integridade R. Neste caso os quocientes   pertencem ao anel de frações de R (ou em R mesmo se   é inversível em R) e as raízes   são tomadas em um corpo algebricamente fechado. Tipicamente, R é o anel dos inteiros, o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos.

As fórmulas de Viète são fudamentais nestas situações, porque fornecem relações entre as raízes sem a necessidade de as determinar.

Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio de integridade, as fórmulas de Viète são válidas somente quando   é um zero não-divisor e   é fatorado como  . Por exemplo, no anel dos inteiros módulo 8, o polinômio   tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète não são válidas se, por exemplo,   e  , porque  . Contudo,   fatora como   e como  , e as fórmulas de Viète são válidas se fixamos   e   ou   e  .

Exemplos gerais

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Fórmulas de Viète aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:

Para polinômios de segundo grau  , as raízes   da equação   satisfazem

 

A primeira destas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P.

Para o polinômio cúbico  , as raízes   da equação   satisfazem

 

As fórmulas de Viète podem ser provadas por expansão da igualdade

 

que é verificada como válida sendo   todas raízes deste polinômio, expandindo esta expressão e identificando os coeficientes de cada potência de  

Formalmente, expandindo   os termos são exatamente   onde   é 0 ou 1, sendo   incluído no produto ou não, e k é o número de   que são excluídos, sendo o número total de fatores no produto n (contando   com multiplicidade k) – havendo n escolhas binárias (inclusive   ou x), há   termos – geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. Agrupando estes termos por grau é obtido o polinômio simétrico elementar em   – para xk, todos os distintos k-ésimos produtos de  

Ver também

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References

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  • Djukić, Dušan,; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, ISBN 0-387-24299-6, Springer, New York, NY