Identidades do cálculo vetorial

As identidades a seguir são relevantes para o Cálculo Vetorial:

Notação de OperadoresEditar

GradienteEditar

 Ver artigo principal: Gradiente

No Sistema de coordenadas cartesiano em três dimensões, o gradiente de alguma função   é dado por:

 

onde i, j, k são os vetores de uma Base ortonormal.

O gradiente de um campo tensorial,  , de ordem n é geralmente escrito como:

 

e é um campo tensorial de ordem n + 1. Em particular, se o campo tensorial tem ordem 0, como por exemplo um campo escalar  , o gradiente resultante,

 

é um campo vetorial.

DivergenteEditar

 Ver artigo principal: Divergência

No espaço cartesiano tridimensional, a divergência de uma campo vetorial continuamente diferenciável   é definida como a função escalar:

 

A divergência de um campo tensorial,  , de ordem não nula n, é geralmente escrita como

 

e é uma contração para um tensor de ordem n − 1. Especificamente, a divergência de um vetor é um escalar. A divergência de um campo tensorial de ordem superor pode ser encontrada decompondo-se o campo tensorial na soma dos produtos externos, assim permitindo o uso da identidade,

 

onde   é a derivada direcional na direção   multiplicada pela sua magnitude. Especificamente, para o produto externo de dois vetores,

 

RotacionalEditar

 Ver artigo principal: Rotacional

Em coordenadas cartesianas, para  :

  =  


 

onde i, j, and k são os vetores unitários para os eixos x-, y-, e z- , respectivamente.


Para um campo vetorial tridimensional  , o rotacional também é um campo vetorial tridimensional, normalmente escrito como:

 

ou na Notação de Einstein como:

 

onde ε é o Símbolo de Levi-Civita.

LaplacianoEditar

 Ver artigo principal: Laplaciano

Em coordenadas cartesianas, o Laplaciano de uma função   é

 

Para um campo tensorial,  , o laplaciano é geralmente escrito como:

 

e é um campo tensorial de mesma ordem.

Notações especiaisEditar

Na Notação de Feynman,

 

onde a notação ∇B significa que o gradiente subscrito opera somente no fator B.[1][2]

Uma ideia semelhante mas menos geral é utilizada na álgebra geométrica, onde a notação de sobreponto Hestenes é utilizada.[3] A identidade acima é então expressada como:

 

onde o sobreponto define o escopo da derivada vetorial. O vetor com sobreponto, neste caso B, é diferenciado, enquanto o A, sem ponto, é mantido constante.

Pelo resto deste artigo, a notação subscrita de Feynman será usada onde for apropriado.

PropriedadesEditar

Propriedades distributivasEditar

 
 
 

Regra do Produto para o GradienteEditar

O gradiente do produto de dois campos escalares   and   segue a mesma forma da regra do produto no cálculo de variável simples.

 

Produto de um Escalar e um VetorEditar

 
 

Regra do QuocienteEditar

 
 
 

Regra da CadeiaEditar

 
 
 
 

Produto Escalar ou Produto Vetorial InternoEditar

 

onde JA denota o Jacobiano de A.

Alternativamente, usando notação subscrita de Feynman,

 

Como um caso especial, quando A = B,

 

Produto VetorialEditar

 
 

Derivações SegundasEditar

Rotacional do GradienteEditar

O rotacional do gradiente de qualquer Campo escalar contínuo duplamente diferenciável é sempre o vetor nulo.

 

Divergente do RotacionalEditar

O divergente do rotacional de qualquer campo vetorial A (cujas componentes são funções que admitem a segunda derivada, sendo a última uma função contínua) é sempre zero:

 

Divergente do GradienteEditar

O Laplaciano de um campo escalar é o divergente do seu gradiente:

 

O resultado é um valor escalar.

Rotacional do RotacionalEditar

 

Aqui,∇2 é o vetor Laplaciano operando no campo vetorial A.

Sumário de Identidades ImportantesEditar

Adição e MultiplicaçãoEditar

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  •  
  •  
  •  
  •   (Produto triplo)
  •   (Produto triplo)
  •   (Produto triplo)
  •   (Identidade de Jacobi)
  •   (Identidade de Jacobi)
  •  
  •  
  •  

DiferenciaçãoEditar

GradienteEditar

  •  
  •  
  •  

DivergenteEditar

  •  
  •  
  •  

RotacionalEditar

  •  
  •  
  •  

Derivações SegundasEditar

 
DCG chart: Um mapa demonstrando todas as regras pertinentes as segundas derivações. D, C, G, L e CC representam, respectivamente, divergente, rotacional, gradiente, Laplaciano e rotacional do rotacional. As setas indicam a existência de segundas derivações. O círculo azul no centro representa o rotacional do rotacional, enquanto os outros dois círculo vermelhos tracejados significam que divergente do divergente e gradiente do gradiente não existem.
  •  
  •  
  •   (Laplaciano escalar)
  •   (Laplaciano vetorial)
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (Identidade vetorial de Green)

Derivações TerceirasEditar

  •  
  •  
  •  

IntegraçãoEditar

Abaixo, o símbolo ∂ significa "contorno de".

Integrais de Superfície-volumeEditar

Nos teoremas de integral de superfície-volume, V denota o volume tridimensional correspondente ao contorno bidimensional S = ∂V (uma superfície fechada):

  •    (Teorema da divergência)
  •   
  •   
  •    (Primeira Identidade de Green)
  •   

     (Segunda Identidade de Green)

Integrais de Curva-SuperfícieEditar

Nos teoremas de integral de curva-superfície a seguir S denta uma superfície bidimensional aberta com contorno correspondente C = ∂S (uma curva fechada):

  •     (Teorema de Stokes)
  •  

Integração ao redor de uma curva fechada no sentido horário é o negativo da mesma integral de linha no sentido anti-horário, o que é análogo a mudar a inverter os limites em uma integral definida.

ReferênciasEditar

  1. Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics. [S.l.]: Addison-Wesley. Vol II, p. 27–4. ISBN 0-8053-9049-9 
  2. Kholmetskii, A. L.; Missevitch, O. V. (2005). «The Faraday induction law in relativity theory». arXiv:physics/0504223  [physics.class-ph] 
  3. Doran, C.; Lasenby, A. (2003). Geometric algebra for physicists. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 169. ISBN 978-0-521-71595-9 

Leitura AdicionalEditar

  • Balanis, Constantine A. Advanced Engineering Electromagnetics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-62194-3 
  • Schey, H. M. (1997). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. [S.l.]: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5 
  • Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X