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Cálculo vectorial (AO 1945: Cálculo vectorial) configura uma área da matemática que trata da diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no espaço euclidiano, . O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado errôneamente como sinônimo de cálculo multivariável, área que o abrange, assim como diferenciação parcial e integrais múltiplas. O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânica dos fluidos.

HistóriaEditar

O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da análise quaterniônica por Josiah W. Gibbs e Oliver Heaviside em torno do final do século 19. Grande parte de sua notação e terminologia foi estabelecida por Gibbs e Edwin B. Wilson, em seu livro Vector Analysis, publicado em 1901.

Definições e objetosEditar

Campo escalarEditar

Artigo principal: Campo escalar

Um campo escalar associa um escalar a todo ponto no espaço. O escalar pode ser tanto um número matemático ou uma quantidade física.Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou espaço tempo) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. Campos escalares são comumente representados pelos campos de temperatura, pressão, potencial gravitacional, potencial elétrico e magnético.

Campo vectorialEditar

Artigo principal: Campo vectorial

Um campo vectorial ou campo de vectores é uma construção em cálculo vectorial que associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto   do espaço  , generalizadamente dada por  .

Campos vectoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, bem como o campo elétrico   e o campo magnético  relacionando as componentes ponto a ponto.

Comumente são representados os campos vectoriais em apresentações mais simplórias, em planos, representações 3D, no entanto campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores o que torna exemplos mais complexos com representação apenas por recursos gráficos computacionais.

Vectores e pseudo vectoresEditar

Em tratamentos mais rigorosos, pode-se distinguir campos pseudovectoriais e campos pseudoescalares, os quais são idênticos a campos vectoriais e campos escalares, com a exceção de que seus sinais são trocados sob uma circunstância de reversão de orientação.

O rotacional de um campo vectorial, por exemplo, é considerado um campo pseudovectorial e, se seu sinal é alterado, o rotacional apontará na direção oposta.

Essa distinção é esclarecida e elaborada na álgebra geométrica, como descrita abaixo.

Álgebra vectorialEditar

As operações algébricas em Cálculo vectorial são referidas como álgebra vectorial, sendo definida para um espaço vectorial e globalmente aplicada a um campo vectorial. As operações algébricas elementares são:

Operação Notação Descrição
Adição de vectores   Adição de dois campos vectoriais, resultando em um campo vectorial.
Multiplicação por escalar   Multiplicação de um campo escalar e um campo vectorial, resultando em um campo vectorial.
Produto interno   Multiplicação de dois campos vectoriais, resultando em um campo escalar.
Produto externo   Multiplicação de dois vectores no  , resultando em um (pseudo) campo vectorial.

Operadores e teoremasEditar

Artigo principal: Identidades do cálculo vectorial

Operadores diferenciaisEditar

Artigo principal: Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano

O cálculo vectorial estuda diferentes operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vectoriais, que geralmente são expressados em termos do operador del ( ), também conhecido como "nabla". Os três operadores vectoriais elementares são:

Operação Notação Descrição Analogia notacional Domínio/Imagem
Gradiente   Mensura a taxa e a direção de crescimento em um campo escalar. Multiplicação por escalar. Produz um campo vectorial a partir de um campo escalar.
Divergente   Mensura o escalar de uma fonte ou sumidouro em um dado ponto de um campo vectorial. Produto interno. Produz um campo escalar a partir de um campo vectorial.
Rotacional   Mensura a tendência de rotação em torno de um ponto que encontra-se em um campo vectorial. Produto externo. Produz um campo (pseudo) vectorial a partir de um campo vectorial.
 

Um campo vetorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar   tal que   . Diz-se, neste caso, que   é o potencial associado a F .

Um campo vetorial F diz-se solenoidal quando  . E se F é solenoidal, existe um campo vetorial A tal que  .

Um campo vetorial F diz-se irrotacional quando  . E assim sendo conservativo, ou seja,   e  

Naturalmente, os dois operadores de Laplace também são muito utilizados:

Operação Notação Descrição Domínio/Imagem
Laplaciano   Mensura a diferença entre o valor do campo escalar com a sua média através de esferas infinitesimais. Não altera a natureza do campo.
Laplaciano vectorial   Mensura a diferença entre o valor do campo vectorial e a sua média através de esferas infinitesimais. Não altera a natureza do campo.
 

Teoremas de integraisEditar

Os três operadores vectoriais elementares possuem teoremas correspondentes que generalizam o teorema fundamental do cálculo para dimensões superiores:

Teorema Afirmação Descrição
Teorema do Gradiente   A integral de linha do gradiente de um campo escalar é igual à diferença de valores do campo escalar nos limites de integração. É análogo ao teorema fundamental do cálculo.
Teorema da Divergência   A integral do divergente de um campo vectorial sobre um sólido   dimensional é igual ao fluxo do campo vectorial através da superfície fechada de   dimensões que delimita o sólido.
Teorema do Rotacional ou Teorema de Kelvin-Stokes   A integral do rotacional de um campo vectorial sobre uma superfície no   é igual à integral de linha do campo vectorial sobre a curva fechada que delimita a superfície.
 

Em duas dimensões, os teoremas da Divergência e do rotacional reduzem-se ao Teorema de Green:

Teorema Afirmação Descrição
Teorema de Green   A integral do divergente ou rotacional de um campo vectorial sobre alguma região do   é igual ao fluxo ou integral de linha do campo vectorial sobre a curva fechada que delimita a região.

Aplicações do cálculo vectorialEditar

Aproximação linearEditar

Artigo principal: Aproximação linear

A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma função de maior complexidade por outra função, linear, que apresenta uma imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. Dada uma função diferenciável   com valores reais, é possível aproximar   para   próximo de   através da relação  .

O lado direito representa a equação do plano tangente ao gráfico de   em  .

OtimizaçãoEditar

Artigo principal: Otimização

Para uma função continuamente diferenciável de múltiplas variáveis reais, um ponto   configura um ponto crítico se todas as derivadas parciais da função em P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os valores críticos são os valores da função nos pontos críticos.

Se a função é suave, ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela.

Gradiente de um CampoEditar

O conceito de gradiente na Física está intrinsecamente associado ao conceito de campos conservativos e de função potencial, na matemática também se define campo vetorial conservativo. No que se refere à Física, temos campos conservativos relacionados a campos que conservam a energia do sistema, ou seja, não há perdas de energia, a exemplo de dissipação por atrito ou efeito joule. Dessa forma, dada uma função potencial  , basta calcular o gradiente do mesmo para encontrar o campo conservativo associado à  .   .

Sendo   uma função explícita de x,y,z

 

- Gradiente de Potenciais CentraisEditar

Muitos modelos de potenciais físicos são considerados centrais, ou seja, possuem uma função potencial  que corresponde a uma função implícita de algumas variáveis ( = ), tomando elas como x,y,z, podemos aplicar regra da cadeia para chegar as seguintes expressões:

  

A soma das derivadas em relação as componentes da função retoma o gradiente da função:

 

 

Modelo de Condução Térmica[1]Editar

O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial.

A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, é função do gradiente de temperatura,  , e da constante de proporcionalidade, k .

 

Como temos fluxo de calor na direção x e na direção y podemos escrever:

 

 

E dessa forma chegamos a equação de Fourier para fluxo de calor. Com o fluxo dependendo do gradiente de temperatura e da constante k:

 

Utilizando o balanço de energia abaixo:

 

Se o sistema se encontra em regime permanente ( ) e não possui geração interna de calor ( ) temos as seguintes constatações:

 

 

 

Física e engenhariaEditar

Cálculo vectorial é especialmente útil no estudo de:

Ver tambémEditar

BibliografiaEditar

  • Caparrini, Sandro (2002). The discovery of the vector representation of moments and angular velocity. Archive for History of Exact Sciences 56:151–81. (em inglês). [S.l.: s.n.] 
  • Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System (em inglês) Reprint edition ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 0-486-67910-1 
  • Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus (em inglês). [S.l.]: W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-0462-5 
  • Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
  • Barry Spain (1965). Vector Analysis. 2nd edition.
  • Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
  • Irene Strauch, 2008, Porto Alegre. Análise Vetorial. Porto Alegre: Departamento de Matemática Ufrgs, 2008.

ReferênciasEditar

§ Esta página foi traduzida e adaptada da página análoga norte-americana.

§ Projeto REAMAT. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO. http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM524/aula_em524_pdf/aula-23.pdf

  1. «TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO» (PDF). Consultado em 4 de julho de 2019  line feed character character in |titulo= at position 23 (ajuda)