Integral de superfície

Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície. Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade. Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície. Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.

Definição

Seja $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$, $g=g(x,y,z)$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$. A integral de superfície de $g$ sobre $S$ é definida por:

$$\int \int _{S}gd\sigma$$

onde, $d\sigma$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se $S$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial $F$ sobre $S$ por:

$$\int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma$$

onde, $\mathbf {n}$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície $S$ contribuirão no cálculo do fluxo.

Orientação

Assim como as curvas, também as superfícies precisam ser orientadas, a fim de que, ao adotar certa convenção, sempre se encontre o mesmo sinal para fluxo Φ. Diz-se que uma superfície de dois lados é orientável e que uma superfície de um único lado é não orientável. Assim, existe a necessidade de distinção dos lados de uma superfície orientável e convenção para orientação considerada positiva e negativa, pois ao inverter a orientação de S inverte-se o sinal de Φ.

Sendo assim:

O sinal de ${\overrightarrow {n}}$ serve para orientar $S$.

Para o cálculo de ${\overrightarrow {n}}$:
Suponha que a superfície $S$ seja dada como: $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$.
Reescrevendo cada uma das equações na forma $G(x,y,z)=0$ é possível interpretar a última como a equação de uma superfície de nível de uma função $w=G(x,y,z)$.
A partir do conceito que ${\overrightarrow {\nabla }}G$ é um vetor 3-D e representa um vetor normal à superfície de nível $G(x,y,z)=0$, pode-se definir ${\overrightarrow {n}}$ da seguinte forma:

${\overrightarrow {n}}={\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}$ ou ${\overrightarrow {n}}=-{\frac {{\overrightarrow {\nabla }}G}{|{\overrightarrow {\nabla }}G|}}$

Elemento de área

Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície ${\textstyle S}$ sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que ${\textstyle S}$ é descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$. Consideremos, ainda, um plano dado ${\textstyle \alpha }$ de normal unitária $\mathbf {p}$. A projeção de $S$ sobre $\alpha$ define uma região planar que denotaremos por ${\textstyle R}$.

Com isso, aproximamos um elemento de área $\Delta S$ da superfície $S$ pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área $\Delta S$ projetado sobre o plano $\alpha$. Denotando este por $\Delta A$, temos:

$$\Delta S\approx {\frac {1}{|\cos \gamma |}}\Delta A$$

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\nabla f$ e o vetor $\mathbf {p}$ calculado em algum ponto de $\Delta S$.

Assim, podemos calcular o elemento de área $d\sigma$ por:

$$d\sigma ={\frac {1}{|\cos \gamma |}}dA$$

onde, $\gamma$ é o ângulo entre o vetor gradiente $\nabla f$ e o vetor $\mathbf {p}$. $dA$ é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo $\gamma$ está relacionado ao produto interno entre $\nabla f$ e $\mathbf {p}$ por:

$$\nabla f\cdot \mathbf {p} =|\nabla f||\mathbf {p} |\cos \gamma$$

Segue, daí, que o elemento de área $d\sigma$ pode ser calculado por:

$$d\sigma ={\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA$$

Teorema

Seja $S$ uma superfície suave da forma $z=g(x,y)$ ou $y=g(x,z)$ ou $x=g(y,z)$ e seja ${\overrightarrow {F}}$ um campo vetorial contínuo em $S$. Supondo também que a equação de $S$ seja reescrita como $G(x,y,z)=0$, ao passar $g$ para o membro esquerdo da equação e seja $R$ a projeção de $S$ no plano coordenado das variáveis independentes de $g$. Então:
$$\phi =\int \int _{S}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {n}}dS=\pm \int \int _{R}{\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}GdA$$

Cálculo da integral de superfície

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar. Seja $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$, $g=g(x,y,z)$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$ descrita pela superfície de nível $f(x,y,z)=c$. Seja, ainda, $R$ a região planar definida pela projeção de $S$ sobre um plano dado $\alpha$. Então, a integral de superfície de $g$ sobre $S$ pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre $R$:

$$\int \int _{S}gd\sigma =\int \int _{R}g{\frac {|\nabla f||\mathbf {p} |}{|\nabla f\cdot \mathbf {p} |}}dA$$

Observações Importantes

• Já que foi feita substituição de uma integração de superfície por uma integração dupla na região dos planos coordenados, o integrando deve coincidir com os pontos da superfície. É indispensável identificar a superfície.

• Nas aplicações, as superfícies mais simples são os planos, cúbicas, e os tetraedros. Também é possível ter superfícies de revolução, como cilíndricas, e superfícies quádricas.

• É importante a observação do integrando ${\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}G$, para escolha do sistema de coordenadas mais apropriado, tendo em vista a simetria da superfície.

Exemplo

Exemplo da apostila da prof Irene Strauch.

• Calcular o fluxo de ${\overrightarrow {F}}=3z^{2}{\overrightarrow {i}}+6{\overrightarrow {j}}+6xz{\overrightarrow {k}}$ através da superfície $S$ dada por $y=x^{2}$ com $0\leq x\leq 2$ e $0\leq z\leq 3$ e orientada para fora da concavidade.

Resolução

$G(x,y,z)=y-f(x,z)=y-x^{2}$
${\overrightarrow {\nabla }}G(x,y,z)=-2x{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}$
${\overrightarrow {F}}\bullet {\overrightarrow {\nabla }}G=-6xz^{2}+6$
A região projetada é o retângulo no plano $xz$ restrito a $0\leq x\leq 2$ e $0\leq z\leq 3$, então
$\phi =\int \int _{R}(-6xz^{2}+6)dA$
$\phi =-\int _{0}^{3}\int _{0}^{2}(-6xz^{2}+6)dxdz$
$\phi =-36+(4\cdot 27)=72$

Integral de superfície de campos escalares

Supondo que f seja uma função de um campo escalar de três variáveis em uma superfície suave S. Para encontrar uma fórmula explícita da integral de superficie f sobre S, é precido parametrizar S. Dada a parametrização r(s, t), onde (s, t) varia em alguma região T no plano, a integral de superfície é definida por:

$\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

Se S for o gráfico de uma função $z=z(x,y)$, então:

${\begin{aligned}\iint _{S}f\,\mathrm {d} S&{}=\iint _{T}f\mathbf {(} x,y,z(x,y)){\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$

Onde T é a projeção de S sobre o plano xy.

Integral de superfície de campos vetoriais

O fluxo total através da superfície é encontrado somando-se o produto $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS$ para cada partição. A medida que os pedaços se tornam infinitamente pequenos, a integral da superfície é ${\textstyle \int _{S}{\mathbf {F\cdot n}}\;dS}$

Seja uma superfície suave $S$ representada por ${\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\vec {i}}+y(u,v){\vec {j}}+z(u,v){\vec {k}}$ e ${\vec {n}}={\vec {n}}(u,v)$ um vetor unitário normal a essa superfície. Dado um campo vetorial ${\vec {f}}$ definido sobre $S$, a integral de superfície é definida por:

${\begin{aligned}\iint _{S}\left({\mathbf {\vec {f}} }\cdot {\mathbf {\vec {n}} }\right)\,\mathrm {d} s\ =\iint _{T}{\mathbf {\vec {f}} }(\mathbf {\vec {r}} (s,t))\cdot {\vec {n}}(s,t)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

quando a integral da direita existe. Se $S$ é suave por partes, a integral é definida sobre a soma das integrais de cada fragmento de $S$. Como o vetor unitário ${\vec {n}}$ é dado por:

${\begin{aligned}{\vec {n}}={{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\end{aligned}}$

os módulos do produto vetorial se anulam. A expressão se torna:

${\begin{aligned}\iint _{S}\left({\mathbf {\vec {f}} }\cdot {\mathbf {\vec {n}} }\right)\,\mathrm {d} s\ =\pm \iint _{T}{\mathbf {\vec {f}} }(\mathbf {\vec {r}} (s,t))\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

A integral terá sinal positivo se o lado de $S$ escolhido para integração for o lado do qual emana o vetor unitário ${\vec {n}}$. Do contrário, o sinal será negativo.

Aplicações

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.
Na Mecânica dos Fluidos poderemos ter fluxo de um campo de velocidades ${\vec {v}}$. No Eletromagnetismo teremos fluxo de um campo elétrico ${\vec {E}}$ ou de um campo de indução magnética ${\vec {B}}$ através de uma superfície $S$. Se o campo vetorial for um campo de densidade de corrente, indicado pela letra ${\vec {J}}$, então o fluxo terá dimensão de massa por unidade de tempo ou de corrente elétrica, conforme estejamos estudando o movimento de um fluido ou o movimento de cargas elétricas, respectivamente.

Massa

Suponhamos que $S:f(x,y,z)=c$ descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função $\delta =\delta (x,y,z)$. Então, a massa $M$ da placa é dada pela integral de superfície:

$$M=\int \int gd\sigma$$.

Fluxo

Uma superfície (orientada de acordo com que o fluxo positivo seja atravessando-a de baixo para cima) e linhas de campo atravessando-a.

Seja $S:f(x,y,z)=c$ uma superfície no espaço e ${\vec {F}}$ um campo vetorial. Em cada ponto de S existem dois vetores normais unitários, apontando em direções opostas; o vetor normal unitário com orientação positiva, denotado por ${\hat {n}}$. Se S é uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, então por convenção ela é orientada de forma que o lado exterior seja o positivo(${\hat {n}}$sempre aponta pra fora de S).

Então o fluxo através de S é determinado por

$$\iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot {\hat {n}}dS$$

onde $dS$ é o elemento de área da superfície

Também é usada a notação ${\vec {dS}}={\hat {n}}dS$

Por exemplo, se ${\vec {F}}$ é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de $S$.

Ver também

• Teorema de Stokes
• Teorema de Gauss