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Uma integral de superfície é uma integral definida de uma função sobre uma superfície.[1][2][3] Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo.[3]

Índice

DefiniçãoEditar

Seja  ,  , uma função definida em todos os pontos de uma superfície  . A integral de superfície de   sobre   é definida por[2]:

 

onde,   é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se   é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial   sobre   por[3]:

 

onde,   é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície   contribuirão no cálculo do fluxo.[4]

Elemento de áreaEditar

 
Elemento de área de uma superfície lisa.

O cálculo do elemento infinitesimal de área sobre a superfície pode ser feito com o auxílio de uma projeção adequada da superfície   sobre um plano do espaço cartesiano. Suponhamos que   é descrita pela superfície de nível  . Consideremos, ainda, um plano dado   de normal unitária  . A projeção de   sobre   define uma região planar que denotaremos por  .

Com isso, aproximamos um elemento de área   da superfície   pela área do elemento tangente associado. Este, por sua vez, pode ser calculado em função do elemento de área   projetado sobre o plano  . Denotando este por  , temos[2]:

 

onde,   é o ângulo entre o vetor gradiente   e o vetor   calculado em algum ponto de  .

Assim, podemos calcular o elemento de área   por[2]:

 

onde,   é o ângulo entre o vetor gradiente   e o vetor  .   é o elemento de área planar.

Observamos, ainda, que o ângulo   está relacionado ao produto interno entre   e   por:

 

Segue, daí, que o elemento de área   pode ser calculado por:

 

Cálculo da integral de superfícieEditar

Com base no cálculo do elemento de área sobre uma superfície podemos calcular a integral de superfície como uma integral dupla sobre uma região planar.[2] Seja  ,  , uma função definida em todos os pontos de uma superfície   descrita pela superfície de nível  . Seja, ainda,   a região planar definida pela projeção de   sobre um plano dado  . Então, a integral de superfície de   sobre   pode ser calculada pela seguinte integral dupla sobre  :

 

AplicaçõesEditar

Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias. Aqui, discutimos rapidamente algumas delas.

MassaEditar

Suponhamos que   descreve a superfície de uma placa fina com densidade de massa dada pela função  . Então, a massa   da placa é dada pela integral de superfície[2]:

 
.

FluxoEditar

 
Uma superfície(orientada de acordo com que o fluxo positivo seja atravessando-a de baixo para cima) e linhas de campo atravessando-a.

Seja   uma superfície no espaço e  um campo vetorial.

Assumimos que S é orientada: isso significa que S tem dois lados e um deles foi designado para ser o lado positivo. Em cada ponto de S existem dois vetores normais unitários, apontando em direções opostas; o vetor normal unitário positivo(com orientação positiva), denotado por  , é o que tem sua base no lado positivo da superfície. Se S é uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, então por convenção ela é orientada de forma que o lado exterior seja o positivo( sempre aponta pra fora de S).[5]

Então o fluxo através de S é determinado por

 

onde   é o elemento de área da superfície

Também é usada a notação  

Por exemplo, se   é o campo de velocidades de um escoamento, então esta integral fornece o fluxo do escoamento através de  .[2]

Referências

  1. Flemming, Diva Marília. Cálculo B 2 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788576051169 
  2. a b c d e f g h Thomas, George B. (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874 
  3. a b c Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 2 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112593 
  4. a b Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática. 
  5. 18.02 Notes and Exercises by A. Mattuck and Bjorn Poonen with the assistance of T.Shifrin and S. LeDuc c M.I.T. 2010-2014
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